lundi 10 janvier 2022

Apprendre aux élèves à utiliser la structure des expressions algébriques

L’accent porté sur la structure a pour but de permettre aux élèves de développer un apprentissage en profondeur. Cela les amène à décoder les structures sous-jacentes des expressions algébriques plutôt que d’être désorientés par des caractéristiques superficielles.

(Photographie : Katrin Koenning)






L’importance des structures algébriques


Les structures algébriques font référence aux caractéristiques et aux relations mathématiques sous-jacentes d’une représentation, telles que :
  • Le nombre, le type et la position des quantités et des variables
  • Le nombre, le type et la position des opérations
  • La présence d’une égalité ou d’une inégalité
  • Les relations entre les quantités, les opérations et les égalités ou les inégalités
  • Le degré de complexité des expressions, des expressions simples pouvant être imbriquées dans des expressions plus complexes.

L’attention portée à la structure aide les élèves à établir des liens entre des problèmes, des stratégies de résolution et des représentations qui peuvent sembler différents au départ, mais qui sont en fait mathématiquement similaires.

Par exemple, considérons ces trois équations :



Bien que les équations semblent différentes, elles ont des structures similaires. Dans les trois équations :
  • Nous multiplions x par 2
  • Nous ajoutons 8
  • L’expression égale 14

En comprenant la structure, les élèves peuvent se concentrer sur les similitudes mathématiques de problèmes qui peuvent sembler d’apparence différente. L’acquisition de cette compréhension est susceptible de simplifier la résolution de problèmes d’algèbre. 

En particulier, la reconnaissance de la structure aide les élèves à comprendre les caractéristiques des expressions et des problèmes algébriques, que les problèmes soient présentés sous forme symbolique, numérique, verbale ou graphique.



1. Promouvoir l’utilisation d’un langage qui reflète la structure mathématique


L’utilisation d’un langage mathématique précis est un élément clé de la compréhension de la structure et jette les bases de l’utilisation du questionnement réfléchi, des représentations multiples et des diagrammes. 

Lorsque nous parlons à nos élèves, nous formulons les étapes de la solution d’algèbre dans un langage mathématique précis. Nous communiquons la signification logique de la structure, des opérations, des étapes de la solution et des stratégies d’un problème.

Prenons par exemple le cas de la modélisation de la propriété distributive dans un langage mathématique précis, 
  
Un enseignant décrit et illustre le processus de multiplication de deux binômes en utilisant la propriété distributive. Grâce à la modélisation de l’enseignant, les élèves peuvent comprendre la signification mathématique de l’utilisation de la propriété distributive comme stratégie de solution.



L’enseignant commence par faire remarquer la structure de l’expression :
  • Nous avons deux binômes, et chaque binôme consiste en la somme ou la différence de deux quantités. 
  • Nous pouvons utiliser des extensions de la propriété distributive de la multiplication sur l’addition pour réécrire l’expression. 
  • Le premier binôme, 2x + 5, est la somme de 2x et 5. Nous pouvons distribuer le deuxième binôme, 4x - 3, sur le premier binôme.
  • Nous pouvons ensuite distribuer chaque monôme, 2x et 5, sur le binôme :
  • Nous pouvons alors regrouper les termes et simplifier.

Nous devons privilégier un langage mathématique précis pour aider les élèves à analyser et à décrire verbalement les caractéristiques spécifiques qui composent la structure des représentations algébriques. 

Lors de l’introduction d’un nouveau sujet ou d’un nouveau concept, nous utilisons et modélisons un langage mathématique précis pour encourager les élèves à décrire la structure des problèmes algébriques avec des termes exacts et appropriés.

Pendant l’enseignement en classe entière, les enseignants peuvent reformuler les solutions et les réponses des élèves aux questions. Ils utilisent alors un langage mathématique approprié plutôt que d’approcher le langage vague et non mathématique qu’utilisent souvent les élèves. Une expression vague peut avoir plus d’un sens.

Un langage mathématique précis décrit de façon plus exacte et complète la validité mathématique d’un problème, ce qui aide les élèves à mieux comprendre les quantités et les opérations, ainsi que les relations entre elles. 



2. Encourager les élèves à utiliser un questionnement réfléchi pour remarquer la structure lorsqu’ils résolvent des problèmes


En se posant des questions sur un problème qu’ils sont en train de résoudre, les élèves peuvent réfléchir à la structure du problème et aux stratégies potentielles qu’ils pourraient mobiliser pour le résoudre. 

Tout d’abord, nous effectuons un modelage du processus de questionnement réfléchi en réfléchissant à voix haute pendant la résolution d’un problème afin d’expliciter le cheminement de notre pensée. 

Les enseignants peuvent noter et partager les questions qu’ils se posent afin de démontrer clairement les étapes de leur processus de réflexion. 

Nous présentons ensuite à l’ensemble de la classe un nouveau problème. Nous demandons aux élèves de noter les questions qu’ils pourraient se poser pour résoudre le problème. Les élèves peuvent pratiquer le processus de réflexion à voix haute en travaillant par deux ou partager leurs idées écrites avec un partenaire. Ce processus aidera les élèves à utiliser le questionnement réfléchi par eux-mêmes lors de la pratique autonome pour explorer la structure algébrique.

Dans l’exemple ci-dessous, un élève accomplit la tâche suivante en utilisant le questionnement réfléchi pour articuler ses pensées et expliciter son raisonnement (dans la colonne de droite).

Simplifie l’expression suivante :


 

Que puis-je dire sur la forme de l’expression ?

C’est une somme d’expressions rationnelles. Je peux penser à réécrire cette expression en matière d’addition de fractions, en commençant par un dénominateur commun de (x — 1) et (x + 1).

Que remarque-t-on à propos du dénominateur de chaque expression ?

Les deux sont des binômes conjugués. Leur produit est une différence de deux carrés.


Que s’est-il passé dans les problèmes que j’ai résolus auparavant ?

Parfois, j’ai pu voir des facteurs communs dans les numérateurs et les dénominateurs après avoir ajouté deux expressions rationnelles.



Est-ce que je vois un facteur commun du numérateur et du dénominateur ?

Aucun des facteurs du dénominateur n’est un facteur du numérateur, je vais donc réécrire le numérateur et le dénominateur.



Pour aider les élèves à se poser des questions réfléchies, nous pouvons les projeter au tableau ou distribuer une liste de questions communes que les élèves peuvent se poser en résolvant un problème.

Les listes de questions initiales peuvent être mises à jour au fur et à mesure que de nouvelles questions sont utilisées en classe, ce qui permet aux élèves de relier ces questions à de nouvelles expériences d’apprentissage.

Exemples de questions de réflexion pour remarquer la structure :
  • Que m’est-il demandé de faire dans ce problème ?
  • Comment pourrais-je décrire ce problème en utilisant un langage mathématique précis ?
  • Ce problème est-il structuré de la même manière qu’un autre problème que j’ai résolu auparavant ?
  • Combien de variables y a-t-il ?
  • Que dois-je essayer de résoudre ?
  • Quelles sont les relations entre les quantités dans cette expression ou équation ?
  • Comment l’emplacement des quantités et l’ordre des opérations vont-ils influer sur ce que je vais faire en premier ?



3. Apprendre aux élèves que différentes représentations algébriques peuvent transmettre différentes informations sur un problème d’algèbre


Reconnaître et expliquer les caractéristiques correspondantes de la structure de deux représentations peut aider les élèves à comprendre les relations entre plusieurs représentations algébriques, telles que les équations, les graphiques et les problèmes écrits. 

Les enseignants peuvent présenter aux élèves des équations sous différentes formes et leur demander d’identifier les similitudes et les différences. En binômes, les élèves peuvent ensuite discuter des similitudes et des différences qu’ils ont identifiées.

Exemple : Équations d’une même droite sous différentes formes



Comparons différentes formes d’équations pour une même droite !

Dans les deux cas, il est facile de voir que la pente est de 2.

Dans le second cas, il est difficile de voir ce qu’est l’ordonnée à l’origine en x, mais cette forme permet facilement de voir que le point (4 ; 5) est sur la droite.

Nous devons aider nos élèves à constater que différentes représentations basées sur les mêmes informations peuvent afficher ces informations différemment, comme dans l’exemple ci-dessous :

Sara et Laura ont toutes les deux des parcelles dans un jardin partagé. Sara a une parcelle rectangulaire. Laura a une parcelle carrée, et chaque côté de sa parcelle fait x mètres de large. Les parcelles de Sara et Laura partagent une bordure complète. La longueur de la parcelle de Sara sur un côté non partagé est de 4 mètres. Si Laura et Sara mettent une clôture autour de leurs deux parcelles, la superficie de l’espace clôturé serait de 21 mètres carrés. Quelle est la largeur de la frontière partagée ? 

L’énoncé du problème est une représentation d’une relation entre trois quantités, à savoir la superficie totale de 21 mètres carrés, la superficie de la parcelle de Sara et la superficie de la parcelle de Laura. Les élèves passent généralement à d’autres représentations pour résoudre le problème. Ils peuvent dessiner un diagramme et produire une équation, puis résoudre l’équation de manière algébrique ou graphique.

     
x = la longueur en mètres de l’un des côtés du terrain de Laura.

Le schéma représente les deux parcelles de jardin avec une bordure commune et un côté non partagé de 4 mètres de la parcelle de Sara. Le diagramme représente également un grand rectangle composé de deux rectangles pour illustrer que la superficie totale est égale à la superficie de la parcelle de Sara plus la superficie de la parcelle de Laura. À l’aide des rectangles, des longueurs données et de l’aire totale de 21 mètres carrés, les élèves peuvent produire et résoudre une équation.

Les élèves peuvent utiliser le diagramme pour voir la structure du problème comme l’équivalence d’une surface totale à la somme de deux parties et l’exprimer sous forme d’équation. 

Les élèves auront probablement recours à la forme standard en premier lieu pour résoudre ce problème, puis ils pourront factoriser pour trouver les solutions possibles pour x.


Après avoir résolu l’équation pour x, les élèves peuvent expliquer pourquoi il y a deux solutions possibles pour l’équation quadratique, et pourquoi -7 ne donne pas de réponse à la question du problème écrit.

L’avantage de la forme factorisée est qu’elle donne un accès immédiat aux racines.

Pour qu’un produit soit égal à zéro, l’un des facteurs doit être nul, donc x est -7 ou 3.

Si les élèves tracent le graphique de la fonction à l’aide d’un logiciel, ces deux racines apparaissant immédiatement. 

v

Sur le graphique, ils peuvent constater que les racines peuvent être lues à partir de la forme factorisée. L’ordonnée à l’origine peut être lue à partir de la forme standard. 

Les deux formes sont utiles également pour déterminer le sommet de la parabole, mais d’une manière différente.

Le graphique est une parabole parce que c’est une équation quadratique, et la direction dans laquelle la parabole s’ouvre dépend du signe du coefficient du terme au carré.


Des représentations spécifiques peuvent présenter certaines informations sur la structure du problème plus facilement que d’autres représentations. Par exemple, les élèves peuvent trouver plus facilement les intersections en x du graphique d’une fonction quadratique si celle-ci est exprimée sous forme factorisée plutôt que sous forme standard.

Il est utile d’encourager les élèves à utiliser un diagramme pour visualiser la structure d’un problème, organiser et documenter les étapes de résolution du problème, et transposer le problème dans une autre représentation.



Utiliser un langage simplifié ?


Un enseignant peut apprécier et être tenté de simplifier le langage mathématique pour permettre à ses élèves d’accéder plus rapidement à une compréhension intuitive des contenus. 

Cela semble être au départ une bonne idée, car les élèves vont réagir spontanément positivement à une utilisation d’un langage simplifié et informel. 

La principale difficulté est que le langage informel s’appuie souvent sur des caractéristiques superficielles et subjectives. C’est par exemple la position des symboles sur la page ou sur certaines expressions ésotériques, plutôt que sur les opérations mathématiques sous-jacentes et leur signification propre.

Le fait est que le langage informel peut introduire des conceptions erronées et de la confusion lors d’évaluations standardisées où un langage précis est utilisé. 

Il va à ce moment-là ajouter une complexité inutile en postposant pour les élèves la nécessaire charge cognitive liée à l’apprentissage du langage mathématique.

S’il n’est pas nuisible d’utiliser un langage informel en classe dans une première phase, il reste nécessaire que les élèves connaissent un langage mathématique précis et en comprennent le sens logique. Un langage mathématique précis n’est pas nécessairement plus compliqué, mais il est plus exact du point de vue mathématique. 

Un langage précis facilite la communication mathématique au-delà de la classe et favorisant l’utilisation d’un langage commun entre les classes, les enseignants, les niveaux scolaires et les évaluations. 

La précision du langage sert à mettre en évidence la structure mathématique, en aidant les élèves à remarquer les composantes du problème telles que les quantités, les opérations et leurs interrelations. Le fait de se référer à ces composantes fréquemment et dans un langage précis contribue à les rendre plus accessibles aux élèves.



Ne pas brûler les étapes


Certains élèves, particulièrement ceux qui ont une bonne compréhension intuitive des concepts mathématiques privilégient la performance et les raccourcis. Ils vont avoir tendance à prendre certaines libertés avec le formalisme mathématique et la structuration des réponses. Souvent, cela se retourne plus tard contre eux avec des erreurs qu’ils ne parviennent pas à débusquer et un apprentissage peu durable.

L’enjeu pour l’enseignant va être de les amener à ralentir, à s’arrêter pour se poser des questions et à réfléchir au problème de manière structurée. 

Il y a des pistes de réponse :
  • Les problèmes peuvent être trop familiers et trop faciles pour les élèves s’ils peuvent les résoudre sans trop y réfléchir. 
    • Si c’est le cas, nous pouvons envisager de proposer aux élèves des variantes de problèmes familiers dont la structure mathématique est similaire à celle qu’ils connaissent. Toutefois, ils peuvent sembler très différents de ce à quoi ils sont habitués. 
    • Nous pouvons également entremêler les problèmes que nous leur donnons à résoudre.
  • Nous pouvons mettre les élèves au défi de résoudre les problèmes de plus d’une façon et d’expliquer les différences entre les stratégies de solution. 
  • Il se peut également que les élèves aient développé des stratégies bien rodées qu’ils préfèrent utiliser et qu’ils n’envisagent pas de stratégies alternatives, même si leurs stratégies préférées ne sont pas optimales. Nous pouvons alors imposer la structure de la réponse.
  • Nous pouvons inclure des tâches qui demandent aux élèves de répondre à des questions de réflexion, en complément et parfois même au lieu de résoudre réellement le problème. 
  • Nous pouvons utiliser des stratégies d’apprentissage coopératif, pour encourager les élèves à utiliser le questionnement réfléchi, à s’expliquer mutuellement et bien réfléchir aux problèmes d’algèbre.



Schématiser


Les schémas ou graphiques peuvent parfois ne pas sembler nécessaires pour certains élèves. Ils peuvent être capables de trouver la bonne réponse sans avoir d’une représentation visuelle.

Cependant, il peut arriver qu’un élève aboutisse à la bonne réponse sans remarquer la structure du problème, sans y prêter attention ou même sans comprendre l’objet du problème. Dans ce cas, il n’a pas appris grand-chose.

Les schémas peuvent éclairer la structure d’un problème et faciliter la compréhension des mathématiques qui se cachent derrière le problème. 

Par exemple, il peut arriver qu’un diagramme ne soit pas perçu comme nécessaire pour obtenir la bonne réponse. Les enseignants peuvent alors encourager les élèves à reconnaître que les diagrammes restent des outils essentiels pour mettre en évidence la structure et favoriser une compréhension plus approfondie. Nous devons nous assurer que les élèves apprennent à les utiliser et deviennent capables de la faire aisément lorsque cela leur sera indispensable.



Stratégies d’apprentissage coopératif


Le partage par paire


Les élèves sont installés par deux. Nous leur donnons un problème à réaliser de manière autonome. Nous leur demandons d’écrire un essai de résolution sur papier. Ensuite, nous leur demandons de le partager avec leurs partenaires.

Ensuite à l’échelle du groupe nous choisissons un élève qui présentera sa résolution par l’intermédiaire d’un visualiseur. 

L’enseignant s’assure que l’élève explicite son processus de réflexion qu’il a déjà partagé avec son partenaire. 



Confiant, hésitant ou dans l’impasse


L’enseignant donne à ses élèves une tâche à réaliser en autonomie. À la fin de celle-ci, lorsque l’enseignant décide de la mise en commun, les élèves lèvent un carton coloré. La couleur choisie leur permet de signaler s’ils sont confiants sur leur résolution, hésitants ou dans l’impasse. 

L’enseignant sélectionne alors soit un élève confiant, voire hésitant, pour expliquer aux autres grâce au visualiseur la stratégie qu’il a utilisée pour aboutir à la solution.

L’avantage pour l’enseignant est qu’il a accès au ressenti de ses élèves, en fonction de celui-ci, il peut décider quelles tâches leur donner à réaliser en autonomie ensuite.



Coaching en binôme


Les élèves ont une série de tâches à réaliser en binôme. Ils se répartissent les tâches ou celles-ci leur sont assignées par l’enseignant. En binôme, un élève résout un problème puis l’explique à l’autre élève qui donne son avis sur la solution et la stratégie de résolution. Les élèves peuvent ensuite échanger leurs rôles.



Instructions de résolution


Plutôt que de demander aux élèves de résoudre un problème, nous leur demandons d’écrire les instructions pour le résoudre. Ils ne peuvent pas le résoudre et aboutir à la solution.

Ensuite, nous demandons aux élèves d’échanger leurs instructions avec un partenaire, et demandez à chaque élève d’essayer de résoudre le problème en suivant les instructions de son partenaire.



Jigsaw


Les élèves sont répartis en groupes de même taille. Chaque membre du groupe reçoit une tâche différente. L’ensemble du groupe va devoir résoudre toutes les tâches. 

Par exemple, dans chaque groupe :
  • L’élève 1 reçoit des informations sur le problème A.
  • L’élève 2 reçoit des informations sur le problème B.
  • L’élève 3 reçoit des informations sur le problème C.

Tout commence par un temps de travail individuel. Ensuite, les membres du groupe collaborent avec les membres des autres groupes qui ont reçu le même problème. Ils discutent de leurs idées et stratégies. 

Enfin, les élèves reviennent dans leur groupe initial pour présenter la synthèse des idées et des stratégies qu’ils ont entendues des élèves des autres groupes et ils réalisent les différentes tâches ensemble.



Porte-parole aléatoire


Les élèves sont répartis dans des groupes et nous donnons un numéro à chaque élève.

Pour la mise en commun, nous tirons au sort un numéro et nous demandons à l’élève qui a reçu ce numéro d’être le porte-parole du groupe et d’expliquer la réponse du groupe. 

Comme les élèves ne savent pas quel numéro sera appelé, les membres du groupe doivent travailler ensemble pour trouver une réponse et tous les membres du groupe doivent être prêts à répondre à la question.



Bibliographie


Star, J. R., Caronongan, P., Foegen, A., Ferguson, J., Keating, B., Larson, M. R., et al. (2015). Teaching strategies for improving algebra knowledge in middle and high school students (NCEE 2014–4333). Washington, DC: National Center for Education Evaluation and Regional Assistance (NCEE), Institute of Education Sciences, U.S. Department of Education. Retrieved from: https://ies.ed.gov/ncee/wwc/PracticeGuides

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