mercredi 12 janvier 2022

Apprendre à sélectionner des stratégies alternatives lors de la résolution de problèmes en algèbre

Les stratégies générales de résolution sont largement applicables, ce qui les rend utiles pour résoudre une grande variété de problèmes. 


(Photographie : goingupthedownstair)




L’enjeu est double :
  • Premièrement, nous voulons que les élèves puissent sélectionner la bonne stratégie pour résoudre un problème donné. 
  • Ensuite, nous voulons qu’ils l’utilisent de manière flexible ou les voir lui préférer une stratégie alternative plus appropriée lorsque les conditions s’y prêtent.



Spécificités des stratégies


Un algorithme contient une séquence d’étapes destinées à être exécutées dans un ordre particulier. 

À la différence d’un algorithme, une stratégie peut amener les élèves à faire des choix en fonction des spécificités d’un problème et de leurs objectifs de résolution.

Une stratégie peut également inclure des approches alternatives qui prennent en compte les variations d’un problème ou éclairer les résultats inattendus qu’un élève pourrait rencontrer en mettant en œuvre les étapes de la solution.



Enjeux


L’enseignement de l’utilisation de stratégies algébriques alternatives peut améliorer les résultats, en particulier la flexibilité procédurale, une fois que les élèves ont développé une connaissance procédurale suffisante. 

En apprenant et en ayant accès à de multiples stratégies algébriques, les élèves apprennent à aborder les problèmes d’algèbre avec souplesse en reconnaissant :
  • Quand appliquer une stratégie donnée.
  • Quelle stratégie est plus appropriée pour une tâche particulière.
  • Comment exécuter correctement une stratégie en fonction du contexte.

En apprenant des stratégies alternatives qui viennent compléter des stratégies générales, les élèves peuvent choisir parmi différentes options lorsqu’ils résolvent un problème. 

La démarche permet d’aider les élèves à dépasser la mémorisation d’une seule approche isolée. Ils étendent leurs connaissances et peuvent penser de manière plus abstraite.
 
Le fait de demander aux élèves de comparer des stratégies est plus propice à l’apprentissage de la flexibilité procédurale que de leur demander d’étudier des stratégies de manière isolée. Les activités de comparaison permettent aux élèves de faire référence à leurs connaissances antérieures en matière de stratégies pour en apprendre de nouvelles tout en créant de multiples liens. 

La comparaison de différentes stratégies de résolution correctes peut aider les élèves à approfondir leur compréhension conceptuelle. Elle leur permet de remarquer les similitudes et les différences entre les structures de problèmes en lien avec les stratégies de solution. 



Modéliser l’usage de stratégies de résolution alternatives


Pour apprendre à nos élèves à reconnaître et à générer des stratégies de résolution, nous les confrontons à des exemples qui illustrent l’utilisation flexible de celles-ci.

Une bonne source d’exemples réalistes illustrant l’usage opportun de stratégies de résolution peut venir de productions d’anciens élèves ou d’élèves actuels.


Comparer et illustrer les stratégies


Nous incluons des stratégies standard que les élèves utilisent couramment, en contraste avec des stratégies alternatives qui peuvent être moins évidentes au départ. Les élèves peuvent observer que ces stratégies varient en matière d’efficacité et d’efficience pour résoudre un type de problème.

Les exemples suivants illustrent des stratégies de solution conventionnelles, suivies d’une stratégie alternative pour plusieurs problèmes résolus. 

1) Évaluer (2 a + 4 b - 7 a + 2 b - 8 a) si a = 1 et b = 7




2) Un achat en ligne de 16 euros se voit soumis à une taxe de 15 %. Quel sera le prix total facturé ?

x = 16 * 1,15
x = 18,40 euros


10 % de 16 euros représentent 1,60 euro. La moitié de 1,60 euro représente 0,80 euro, soit un total de 2,40 euros, de sorte que le prix total facturé serait de 16,00 + 2,40, soit 18,40 euros.

3) Résoudre : 3 (x + 1) = 15





4) Résoudre : 7 (x - 2) = 3 (x - 2) + 16 





5) Résoudre : 4 (x — 2) + 2x + 10 = 2 (3x + 1) + 4 x + 8 




Dans les équations linéaires de cet exemple, les conventions consistent à distribuer la multiplication plutôt que l’addition ou la soustraction avant d’appliquer les propriétés d’égalité.

Les problèmes résolus peuvent montrer comment le même problème peut être résolu avec différentes stratégies : 

10 (y + 2) = 6 (y + 2) + 16 


Stratégie 1 : appliquer d’abord la propriété distributive

Distribuer
10y + 20 = 6y + 12 + 16

Combiner les termes semblables 
 10y + 20 = 6y + 28

Soustraire 6y des deux côtés 
Soustraire 20 des deux côtés 
4 y + 20 = 28 

Diviser par 4 des deux côtés
4y = 8 
y=2 


Stratégie 2 : Rassembler d’abord les termes similaires

Soustraire 6 (y + 2) des deux côtés 

4 (y + 2) = 16

Diviser par 4 des deux côtés 

y+2=4

Soustraire 2 des deux côtés

y=2

Ces exemples soulignent que les stratégies peuvent être utilisées de manière flexible, c’est-à-dire que les élèves ne sont pas limités à l’utilisation d’une stratégie pour un type de problème particulier. 

De même, des problèmes qui semblent différents en apparence peuvent dans certains cas être résolus en utilisant la même stratégie. 



S’investir dans le questionnement


La clé de la démarche repose ensuite sur le questionnement et le développement de la réflexion.

Pour comparer deux stratégies de résolutions, nous pouvons poser diverses questions à nos élèves, par exemple : 
  • Quelles similitudes remarques-tu entre les deux stratégies ?
  • Quelles différences remarques-tu ?
  • Est-ce que les deux stratégies sont également utiles ?
  • Est-ce qu’elles sont correctes mathématiquement ?
  • Les deux stratégies fonctionnent-elles toujours ?

Les élèves doivent apprendre à déterminer si certaines stratégies sont appropriées ou non. Ils doivent pouvoir expliquer comment différentes stratégies peuvent être utilisées pour le même problème et comment elles peuvent être plus ou moins efficaces pour résoudre un problème. Par ce biais, ils prennent conscience de la flexibilité procédurale liée aux stratégies.

Par la suite, lors de la pratique guidée, nous présentons un énoncé de problème et nous devons faire réfléchir les élèves sur les questions à se poser pour déterminer les stratégies de solution appropriées. 

Exemples de questions de réflexion pour sélectionner et envisager des stratégies de solution
  • Quelles sont les différentes stratégies que je peux utiliser pour résoudre ce problème ?
  • Parmi les stratégies que je connais, lesquelles semblent le mieux convenir à ce problème particulier ? Pourquoi ?
  • Y a-t-il quelque chose de spécial dans ce problème qui suggère qu’une stratégie particulière est ou n’est pas applicable ou n’est pas une bonne idée ?
  • Pourquoi ai-je choisi cette stratégie pour résoudre ce problème ?
  • Pourrais-je utiliser une autre stratégie pour vérifier ma réponse ? 

Les élèves peuvent s’appuyer sur une telle liste de questions de réflexion lors de la pratique autonome quand ils travaillent seuls ou en petits groupes. Ils peuvent également utiliser des exemples de problèmes résolus pour sélectionner la stratégie adéquate.

Une fois que les élèves ont trouvé une solution à un problème, nous les mettons au défi de résoudre le problème d’une autre manière et de générer des stratégies supplémentaires pendant le travail de groupe et la pratique indépendante.

Toutes les stratégies ne conviennent pas à tous les problèmes. Les différentes stratégies présentent des avantages et des inconvénients, en fonction du problème. Si les élèves rencontrent des obstacles ou des difficultés lorsqu’ils résolvent un problème en utilisant une stratégie, nous les encourageons à essayer une autre stratégie.



Modeler la flexibilité procédurale et son raisonnement


Nous devons encourager les élèves à articuler le raisonnement derrière leur choix de stratégie et la validité mathématique de leur stratégie lors de la résolution de problèmes. 

Pour cela, nous devons assurer un modelage de ces processus en explicitant notre pensée lorsque nous faisons usage de flexibilité procédurale.

Par la suite, nous pouvons demander aux élèves de décrire leur raisonnement lorsqu’ils analysent la structure du problème, déterminent leur stratégie de solution, résolvent un problème et analysent la solution d’un autre élève. 

La description de leur raisonnement aide les élèves à comprendre les choix qu’ils font et les objectifs qu’ils se fixent lorsqu’ils choisissent une stratégie.

Les élèves peuvent communiquer leur raisonnement verbalement ou par écrit s’ils travaillent en groupe ou seuls. 

Une autre piste de pratique est de répartir les élèves par deux pour travailler sur des problèmes d’algèbre de façon à ce que les élèves ayant des stratégies différentes aient l’occasion de discuter entre eux. Par exemple, si deux stratégies sont prédominantes et qu’environ la moitié des élèves utilisent chacune d’entre elles, les élèves peuvent être répartis en groupes A et B en fonction de leurs stratégies respectives. Ils peuvent alors être jumelés avec un élève de l’autre groupe. Les partenaires peuvent discuter des stratégies qu’ils ont utilisées pour résoudre le premier problème.



Structurer l’enseignement


Le risque est bien réel avec ces démarches d’embrouiller les élèves si nous ne les accompagnons pas dans une démarche conjuguant enseignement explicite et évaluation formative. 

Avant de nous lancer dans l’entreprise, nous devons nous assurer que les élèves connaissent les stratégies générales et savent dans quels contextes les utiliser. Une fois cela établi, nous pouvons explorer le choix de la bonne stratégie parmi celles possibles dans un contexte donné, étudier leurs avantages et inconvénients. Nous pouvons également combiner les stratégies où les adapter afin de les rendre plus performantes en fonction des caractéristiques décelées de l’énoncé. 

La démarche est nécessaire si nous voulons que les élèves développent une compréhension profonde de l’algèbre. L’alternative qui serait de maîtriser une seule stratégie pour résoudre un type de problème mènerait plus certainement à des connaissances cloisonnées et à un apprentissage superficiel.

Il faut bien comprendre que l’objectif est celui de la flexibilité procédurale. L’objectif de l’enseignement des stratégies alternatives n’est pas de faire en sorte que les élèves maîtrisent toutes les stratégies. Il est plutôt de les faire comparer entre elles afin de développer une compréhension plus approfondie de la stratégie qu’ils choisissent d’utiliser.

Grâce à cette compréhension, les élèves apprennent à utiliser la stratégie choisie avec souplesse pour résoudre des problèmes qu’ils n’ont jamais vus auparavant. 

Il n’est pas non plus judicieux d’enseigner les stratégies multiples en une seule fois. L’enseignant présente une stratégie et donne aux élèves le temps de se sentir à l’aise avec elle avant d’introduire d’autres stratégies, de manière structurée. L’enjeu est de mettre l’accent sur la comparaison des stratégies pour développer la compréhension des élèves.

Bien qu’un élève puisse très bien comprendre une stratégie particulière, un autre élève peut trouver cette stratégie confuse ou peu claire. Le fait de voir des stratégies alternatives offre aux élèves plus d’une façon de penser aux solutions des problèmes d’algèbre. Nous les amenons d’une tentation de la mémorisation par cœur vers une compréhension conceptuelle plus profonde. Ils adopteront le processus de pensée requis pour résoudre le problème plus naturellement. Ils saisiront avec plus d’aisance les raisons pour lesquelles certaines stratégies de résolution fonctionnent et d’autres pas.

Il est clair qu’il n’est pas indispensable que les élèves maîtrisent toutes les stratégies possibles pour résoudre un type de problème donné. Cependant, le fait de voir des stratégies alternatives donne aux élèves différentes options parmi lesquelles ils peuvent choisir lorsqu’ils rencontrent un problème familier ou non. La flexibilité du choix peut conduire à plus de succès, de confiance et de connaissances en algèbre.

Les élèves découvrent naturellement de nouvelles stratégies lorsque leurs camarades de classe proposent des idées sur la façon de résoudre les problèmes. Inclure des stratégies alternatives dans la conversation en classe permet aux élèves de voir comment évaluer et utiliser les alternatives qu’ils rencontrent. 



Adopter un enseignement explicite


Les élèves les plus faibles ont besoin d’un cadre à la fois bien défini et bien structuré pour apprendre efficacement à résoudre les problèmes d’algèbre. Introduire de multiples stratégies et demander aux élèves de choisir entre elles pourrait être difficile pour eux.

Il est vrai que les élèves en difficulté bénéficient d’un enseignement explicite sur la manière de résoudre les problèmes. 

Cependant, l’enseignement explicite est d’autant plus efficace qu’il s’accompagne d’attentes élevées en matière d’apprentissage. 

Délivrer un enseignement explicite et enseigner une seule stratégie de résolution et demander aux élèves de mémoriser les étapes de cette stratégie est faire preuve à leur égard de faibles attentes.

Les élèves sont mieux suivis s’ils n’en viennent pas à considérer les mathématiques comme un livre de recette de cuisine. 

Multiplier les approches de résolution exige de la mémoire des élèves plus qu’un simple drill ou qu’un simple apprentissage par cœur. 

Nous devons relever le défi de l’existence de nombreux types de problèmes et de la variété des stratégies de résolution qui s’offre à nous. 

Les enseignants peuvent aider les élèves en difficulté à comprendre les stratégies alternatives en étant explicites non seulement sur les étapes d’une stratégie, mais aussi sur sa logique sous-jacente. Ils modélisent comment, quand et pourquoi elle est applicable ou utile pour des problèmes particuliers.



Prendre en compte la charge cognitive


La principale limitation de la démarche est qu’elle est principalement en rapport avec une capacité de flexibilité. Cette dernière impose que les élèves connaissent et comprennent les stratégies algébriques dans leur forme classique. Ils sont capables de les mettre en œuvre.

Si tel n’est pas le cas, la surcharge cognitive est probable et des élèves se sentiront dépassés par l’introduction rapide de stratégies alternatives de résolution. 

Nous devons préalablement nous assurer d’avoir donné suffisamment de temps pour pratiquer les stratégies générales et qu’ils savent quand utiliser chaque stratégie.

Nous ne présenterons qu’une ou deux stratégies de résolution alternatives à la fois aux élèves, à des fins de réflexion et de comparaison.

Comme avec tout contenu complexe présentant une haute interactivité des éléments, enseigner à nos élèves des stratégies multiples sans tenir compte des limites de leur fonctionnement cognitif risque d’inhiber tout apprentissage.

Comparer plusieurs stratégies à la fois peut saturer la mémoire de travail des élèves qui se retrouvent à essayer d’apprendre plusieurs nouveaux concepts en même temps. 

Les enseignants peuvent commencer simplement en présentant une stratégie aux élèves à la fois. Nous voulons que les élèves soient à l’aise avec cette stratégie, c’est-à-dire lorsqu’elle est apprise et que ses fondements conceptuels et procéduraux sont consolidés en mémoire à long terme. À ce stade, ils peuvent la comparer à une, voire à deux autres nouvelles stratégies afin d’approfondir la compréhension des mathématiques sous-jacentes. 

D’autres stratégies peuvent être introduites au fur et à mesure si elles sont utiles et si les élèves sont prêts et ont acquis les stratégies précédentes.
 
Souvent, une seule stratégie alternative aidera les élèves à acquérir une approche stratégique de la résolution de problèmes et à commencer à développer sa flexibilité procédurale.

Il peut être utile de passer en revue plusieurs stratégies à la fois qui ont été étudiées précédemment avant les évaluations pour rappeler aux élèves les nombreuses stratégies de solution à leur disposition. Alternativement, il peut être plus propice de leur offrir des occasions de récupération de ces diverses stratégies au fil du temps et leur donner des opportunités d’élaboration à leur sujet au niveau du raisonnement mathématique.



Sélectionner les bonnes ressources pédagogiques


Enseigner aux élèves l’utilisation et la comparaison de stratégies multiples nécessite la connaissance de nombreuses stratégies, or il est possible que le manuel à disposition des élèves ne présente qu’une seule stratégie.

Il est alors utile de le compléter avec d’autres ressources. Le fait de consacrer du temps à la discussion des stratégies multiples dans le cadre d’une communauté d’apprentissage professionnelle permet aux enseignants d’approfondir leur propre compréhension des stratégies et les aide à le faire.

Les enseignants peuvent également découvrir de nouvelles stratégies au fil du temps, parfois même auprès de leurs élèves, qui peuvent développer souvent leurs propres stratégies. 

Les enseignants peuvent constituer au fur et à mesure des organisateurs graphiques qui regroupent les différentes stratégies pour une classe de problèmes et les mettre à disposition des élèves. 

Les élèves peuvent alors disposer de ces organisateurs graphiques qui compilent les différentes stratégies en fonction du type de contexte algébrique. Différentes stratégies sont introduites au fur et à mesure et viennent compléter la palette des élèves. 



Gérer le temps d’enseignement disponible


Une source de difficulté quant au fait de multiplier les stratégies est que le temps est souvent un facteur limitant concernant les contenus enseignés. 

Ce qu’il faut bien comprendre dans la démarche est que l’enseignement des stratégies multiples ne consiste pas à ajouter du contenu supplémentaire aux plans de cours des enseignants. Il ne s’agit pas non plus de prévoir du temps pour que les élèves travaillent sur chaque stratégie à plusieurs reprises. 

Nous devons plutôt d’apprendre aux élèves à réfléchir à un problème d’algèbre et à reconnaître quand une autre stratégie peut être plus appropriée. L’encouragement de ces types de compétences peut se faire dans le cadre existant du plan de cours de l’enseignant, au lieu d’imposer une charge supplémentaire.

L’enseignement de stratégies alternatives aux élèves crée une base solide de compétences de raisonnement, car les élèves apprennent à sélectionner les méthodes de solution appropriées en fonction des problèmes qu’ils rencontrent. L’enseignement de stratégies multiples équipe les élèves d’un ensemble d’outils qu’ils peuvent utiliser pour maîtriser les contenus du programme.



Bibliographie


Star, J. R., Caronongan, P., Foegen, A., Ferguson, J., Keating, B., Larson, M. R., et al. (2015). Teaching strategies for improving algebra knowledge in middle and high school students (NCEE 2014–4333). Washington, DC: National Center for Education Evaluation and Regional Assistance (NCEE), Institute of Education Sciences, U.S. Department of Education. Retrieved from: https://ies.ed.gov/ncee/wwc/PracticeGuides

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