(Photographie : Uturinn Takayuki)
Nature et évaluation des connaissances conceptuelles et procédurales en mathématiques
Comprendre pourquoi une procédure fonctionne et savoir l’exécuter correctement sont deux formes de compétence mathématique qui, bien qu’étroitement liées, ne se recouvrent pas entièrement. Cette distinction entre une connaissance de la structure mathématique (les concepts, les relations, les principes) et une connaissance du comment (les procédures, les algorithmes, les séquences d’actions) constitue l’un des cadres les plus anciens et les plus productifs de la recherche sur l’apprentissage des mathématiques (Rittle-Johnson & Schneider, 2015). Les connaissances conceptuelles et les connaissances procédurales sont deux composantes complémentaires de l’expertise mathématique.
Les connaissances conceptuelles et procédurales sont fortement spécifiques au domaine. Les connaissances acquises dans un domaine mathématique (par exemple les fractions, l’algèbre ou la géométrie) ne se transfèrent que partiellement vers d’autres domaines. Elles sont organisées autour de contenus particuliers plutôt que comme des capacités générales (National Mathematics Advisory Panel, 2008 ; Schneider et coll., 2011).
Cette spécificité a été confirmée par une étude utilisant l’analyse factorielle confirmatoire. D’Erchier et coll. (2026) ont comparé les connaissances conceptuelles et procédurales d’élèves dans deux domaines distincts, les fractions et l’algèbre. Les quatre construits (connaissances conceptuelles et procédurales dans chacun des deux domaines) se sont révélés empiriquement séparables, les corrélations étant plus fortes entre types de connaissances correspondants qu’entre domaines différents. Ces résultats s'inscrivent dans une conception contemporaine de la cognition mathématique comme un ensemble de composantes partiellement distinctes plutôt que comme une aptitude générale unique (Gilmore, 2023).
Les connaissances conceptuelles
Les connaissances conceptuelles sont généralement définies comme la connaissance des concepts, c’est-à-dire de principes abstraits et généraux (Byrnes & Wasik, 1991 ; Canobi, 2009 ; Rittle-Johnson, Siegler, & Alibali, 2001). Le National Research Council américain a proposé une définition largement reprise dans la littérature, selon laquelle les connaissances conceptuelles correspondent à la compréhension des concepts, des opérations et des relations mathématiques (Kilpatrick et coll., 2001).
Les connaissances conceptuelles permettent de comprendre pourquoi une procédure fonctionne, de relier différentes représentations d’un même objet mathématique et d’établir des liens entre plusieurs concepts (Hiebert & Lefevre, 1986 ; Rittle-Johnson & Schneider, 2015). Elles concernent notamment les propriétés des opérations, les relations entre quantités, les principes algébriques ou les invariants géométriques.
Les recherches récentes soulignent également que les connaissances conceptuelles peuvent être explicites ou implicites. Un élève peut manifester une compréhension correcte d’un principe mathématique dans son comportement sans être capable d’en fournir une justification verbale complète. À l’inverse, la verbalisation d’une règle ne garantit pas nécessairement une compréhension conceptuelle profonde. Les connaissances conceptuelles ne doivent donc pas être réduites aux seules connaissances déclaratives verbalisables (Rittle-Johnson & Schneider, 2015 ; Star, 2005).
L’évaluation des connaissances conceptuelles nécessite des tâches différentes de celles utilisées pour mesurer la maîtrise procédurale. Les problèmes proposés doivent être relativement peu familiers, afin de limiter le recours à l’application automatique d’une procédure déjà apprise. Les élèves doivent alors mobiliser leur compréhension des relations mathématiques pour raisonner, expliquer, comparer plusieurs stratégies, identifier des erreurs, choisir entre différentes représentations ou résoudre un problème nouveau à partir de principes connus. Ces tâches offrent une meilleure validité pour mesurer la compréhension conceptuelle que les exercices routiniers (Rittle-Johnson & Schneider, 2015 ; Schneider et coll., 2011).
Ce critère de nouveauté relative est déterminant. Un problème habituellement utilisé pour évaluer la compréhension d’un concept — par exemple, comparer la grandeur de deux nombres — peut en réalité mesurer une connaissance procédurale si les élèves ont reçu un enseignement explicite d’une procédure de comparaison ou en ont développé une par la pratique (Rittle-Johnson & Schneider, 2015).
Les connaissances conceptuelles se rapportent en général à plusieurs concepts interdépendants au sein d’un même domaine. Dès lors, il est recommandé d’utiliser plusieurs tâches pour une même notion, ce qui réduit l’influence de caractéristiques propres à une tâche particulière sur le score obtenu (Schneider & Stern, 2010).
Les connaissances procédurales
Les connaissances procédurales correspondent à la maîtrise des procédures permettant de résoudre des catégories particulières de problèmes. Une procédure est une séquence organisée d’actions ou d’étapes conduisant à un objectif déterminé. Les procédures comprennent aussi bien les algorithmes écrits que les stratégies de calcul mental ou les méthodes de résolution de problèmes (Hiebert & Lefevre, 1986 ; Star, 2005).
Ces connaissances se développent principalement grâce à la pratique répétée et à l’automatisation progressive des procédures. Elles sont généralement liées à des classes particulières de problèmes plutôt qu’à des principes généraux. À mesure que l’expérience augmente, les procédures deviennent plus rapides, plus précises et mobilisent moins de ressources cognitives. Elles libèrent ainsi de la mémoire de travail pour le raisonnement et la résolution de problèmes plus complexes (National Mathematics Advisory Panel, 2008 ; Rittle-Johnson & Schneider, 2015).
L’évaluation des connaissances procédurales repose principalement sur des problèmes familiers, correspondant à des types de tâches déjà rencontrés pendant l’enseignement. Les indicateurs utilisés sont généralement l’exactitude des réponses, la qualité de l’application de la procédure, parfois la rapidité d’exécution lorsque celle-ci constitue un objectif d’apprentissage pertinent. L’objectif est de déterminer si l’élève maîtrise efficacement les procédures appropriées pour une catégorie donnée de problèmes (Schneider et coll., 2011 ; Star, 2005). Contrairement aux tâches conceptuelles, les tâches procédurales doivent être familières : elles portent sur des types de problèmes que les personnes évaluées ont déjà rencontrés et résolus, et pour lesquels elles sont censées disposer d’une procédure de résolution.
Certaines évaluations recourent néanmoins à des problèmes de transfert proche. Il s’agit de problèmes comportant une caractéristique inhabituelle, qui exige soit de reconnaître qu’une procédure déjà connue demeure pertinente, soit d’adapter légèrement cette procédure pour tenir compte de cet élément inédit (Renkl, Stark, Gruber, & Mandl, 1998 ; Rittle-Johnson, 2006). La réussite dépend alors de la capacité de l’élève à reconnaître qu’une procédure déjà connue demeure pertinente ou à l’adapter légèrement à une nouvelle situation. En revanche, ces tâches ne mobilisent pas un changement profond de structure conceptuelle, contrairement aux situations de transfert éloigné (Barnett & Ceci, 2002 ; National Mathematics Advisory Panel, 2008).
Relations entre connaissances conceptuelles et procédurales
La plupart des tâches mathématiques mobilisent simultanément les deux formes de connaissances, et une même tâche peut solliciter davantage l’une ou l’autre selon l’historique d’apprentissage de la personne évaluée (Rittle-Johnson & Schneider, 2015). Ce constat invite à la prudence dans l’interprétation de toute mesure isolée : un score obtenu à une tâche « conceptuelle » peut, chez un individu ayant automatisé une procédure pour ce type de problème, refléter en réalité une connaissance procédurale.
Cette distinction entre types de connaissances n’implique pas une opposition entre deux voies d’apprentissage indépendantes. Les données empiriques disponibles indiquent au contraire que les connaissances conceptuelles et procédurales entretiennent des relations bidirectionnelles et itératives au cours du développement, chacune soutenant des progrès dans l’autre. Cette interaction réciproque est aujourd’hui considérée comme l’un des principaux moteurs du développement de l’expertise mathématique (Rittle-Johnson & Schneider, 2015 ; Schneider et coll., 2011). Une meilleure compréhension conceptuelle favorise l’acquisition et l’adaptation des procédures, tandis que la pratique procédurale peut progressivement enrichir la compréhension conceptuelle.
Implications pédagogiques
Ces éléments théoriques et méthodologiques ont plusieurs implications directes pour la conception des évaluations en classe de mathématiques :
- Une évaluation destinée à mesurer la compréhension conceptuelle d’une notion doit proposer des tâches suffisamment inédites pour empêcher le recours à une procédure mémorisée. À défaut, elle risque de ne mesurer qu’une compétence procédurale déguisée en tâche conceptuelle (Rittle-Johnson & Schneider, 2015).
- Une évaluation de la maîtrise procédurale gagne à inclure, au-delà de problèmes strictement routiniers, quelques problèmes de transfert proche. Ceux-ci renseignent sur la flexibilité avec laquelle les élèves mobilisent une procédure connue face à une variation mineure de l’énoncé (Renkl et coll., 1998 ; Rittle-Johnson, 2006).
- Ces deux formes de connaissances sont spécifiques au domaine mathématique concerné. Dès lors, les inférences tirées d’une évaluation portant sur un contenu (par exemple les fractions) ne peuvent être étendues sans précaution à un autre contenu (par exemple l’algèbre). Cela reste le cas même lorsque les processus cognitifs sollicités semblent proches (D’Erchie et coll., 2026).
- Dans la mesure où les deux types de connaissances se renforcent mutuellement, un enseignement qui articule explicitement pratique procédurale et discussion des concepts sous-jacents est susceptible de soutenir un développement plus robuste des deux formes de compétence que des séquences d’enseignement centrées exclusivement sur l’une ou l’autre (Rittle-Johnson, Schneider, & Star, 2015).
Interactions dans l’apprentissage des connaissances conceptuelles et procédurales
Selon la revue de la recherche effectuée par Rittle-Johnson et ses collègues (2015) auprès d’élèves du primaire, les connaissances procédurales soutiennent les connaissances conceptuelles, et vice versa. Les relations entre ces deux types de connaissances apparaissent bidirectionnelles.
Cette nature bidirectionnelle décrit le fait que les connaissances procédurales sont aussi prédictives des connaissances conceptuelles que l’inverse. L’amélioration des connaissances procédurales soutient souvent l’amélioration des connaissances conceptuelles, et vice versa.
Leur synthèse d’études empiriques montre plus particulièrement que :
- Les concepts soutiennent l’apprentissage des procédures en facilitant :
- Le choix de la bonne procédure,
- L’évitement d’erreurs,
- L’adaptation d’une procédure à un nouveau problème.
- Les procédures soutiennent l’apprentissage des concepts en permettant de :
- Révéler des régularités mathématiques,
- Favoriser la compréhension des structures,
- Conduire à la découverte de concepts.
Au-delà de ce caractère bidirectionnel, il est important de déterminer comment combiner l’enseignement des connaissances procédurales et conceptuelles.
Rittle-Johnson et ses collègues (2015) avancent qu’il est probable qu’il n’existe pas d’ordre optimal d’enseignement, mais plutôt de multiples voies vers la compétence mathématique. Le consensus suggère qu’il convient de donner des instructions explicites, mais le moment où celles-ci doivent être données reste flou.
Aucune séquence d’enseignement ne s’impose clairement comme la meilleure. Ils suggèrent toutefois :
- D’enseigner concepts et procédures ensemble ou de manière alternée
- De créer des situations où les élèves :
- comparent des méthodes
- expliquent leurs stratégies
- analysent les erreurs.
Ces types d’activités favorisent le développement simultané des deux types de connaissances. Le développement de compétences en mathématiques suit ainsi un processus itératif par cycles successifs.
Le risque de l’effet négatif de l’engagement procédural sur l’apprentissage conceptuel
Selon, Fyfe, DeCaro & Rittle-Johnson & Loehr (2014), l’ordre dans lequel les supports pédagogiques sont présentés influence considérablement le développement des connaissances acquises par les apprenants.
Ils ont testé l’impact des instructions conceptuelles données avant ou après la résolution de problèmes mathématiques afin de déterminer à quel moment il convient ou non de retarder les instructions conceptuelles.
Dans le cadre d’une expérience randomisée, des élèves du primaire ont reçu un enseignement sur le concept d’équivalence mathématique avant ou après avoir été invités à résoudre et à expliquer des problèmes avec un retour d’information.
Le fait de dispenser d’abord un enseignement conceptuel a permis d’acquérir une meilleure connaissance procédurale et conceptuelle des structures des équations que le fait de retarder l’enseignement jusqu’après la résolution des problèmes.
L’enseignement conceptuel préalable améliore la résolution des problèmes en augmentant la qualité des explications et des procédures tentées. Dispenser un enseignement conceptuel avant la résolution des problèmes s’est avéré être un enchaînement d’activités plus efficace que l’inverse.
Trois facteurs semblent pouvoir expliquer cette situation liée à des explications procédurales introduites trop tôt :
- Les explications procédurales peuvent être très directives et réduire l’exploration et la construction de sens.
- Les élèves peuvent se focaliser sur une exécution mécanique et ne pas chercher à comprendre les relations mathématiques.
- Lorsque la procédure est complexe, la charge cognitive peut être élevée, l’élève mobilise toute son attention sur l’exécution et ne traite pas les concepts sous-jacents.
La flexibilité procédurale
À côté de la connaissance procédurale et de la connaissance conceptuelle, une troisième catégorie importante pour le développement de compétences et de connaissances en mathématiques est la flexibilité procédurale (Star et ses collaborateurs, 2022). Elle correspond à la notion plus courante de connaissances conditionnelles qu’on associe aux connaissances déclaratives et procédurales.
La flexibilité procédurale est définie comme la connaissance de multiples stratégies et la capacité à sélectionner la stratégie la plus appropriée pour un problème donné et des circonstances de résolution de problèmes.
Les élèves doivent développer une connaissance approfondie et flexible d’une variété de procédures, ainsi que la capacité de porter un jugement critique sur les procédures ou stratégies appropriées à utiliser dans des situations particulières. La flexibilité dans l’utilisation des procédures mathématiques, ou flexibilité procédurale est une finalité importante dans les pratiques éducatives.
L’algèbre est un bon domaine pour s’intéresser à la flexibilité procédurale, en particulier la résolution d’équations linéaires. Dans de nombreux pays à travers le monde, les élèves sont initiés à la résolution d’équations linéaires à peu près au même âge (12 ou 13 ans).
Pour les équations linéaires, telles que 3(x + 1) = 15, il existe un algorithme standard (dont la première étape consiste à distribuer le 3). Toutefois, il existe d’autres stratégies alternatives qui sont sans doute plus optimales pour cette équation particulière. C’est par exemple diviser les deux côtés de l’équation par 3 dans un premier temps. C’est à ce niveau que joue la flexibilité procédurale en guidant vers les stratégies adéquates et optimales, adaptées à la situation.
Les résultats de la littérature suggèrent que les élèves ne choisissent pas toujours une stratégie adaptée à la situation pour une équation donnée, même s’ils connaissent plusieurs stratégies. En outre, même les élèves doués ou les experts en mathématiques qui connaissent plusieurs stratégies ne choisissent pas toujours une stratégie adaptée à la situation. Il semble y avoir une différence entre ce que l’on sait et ce que l’on décide d’utiliser spontanément lors de la résolution d’un problème.
La difficulté liée à la flexibilité procédurale est qu’il est rare qu’une stratégie soit toujours la meilleure. Ce qui fait qu’une stratégie est meilleure qu’une autre dépend souvent des convictions et des objectifs de la personne qui résout le problème, ainsi que des tâches particulières à résoudre.
Il arrive que l’identification de la stratégie la plus appropriée soit assez subtile et nuancée. Dans certains cas, la stratégie la plus efficace, c’est-à-dire celle qui comporte le moins d’étapes ou qui peut être exécutée le plus rapidement, peut être considérée comme appropriée à la situation. Cependant, il se peut également que la stratégie qui peut être exécutée de la manière la plus fiable et sans erreur soit considérée comme la plus appropriée à la situation.
De manière plus générale, dans le domaine des mathématiques, les mathématiciens ont tendance à croire qu’une stratégie appropriée à la situation est celle qui est la plus élégante. Toutefois, il est souvent difficile de définir objectivement l’élégance.
Mis à jour le 07/03/2026
Bibliographie
Barnett, S. M., & Ceci, S. J. (2002). When and where do we apply what we learn? A taxonomy for far transfer. Psychological Bulletin, 128(4), 612–637. https://doi.org/10.1037/0033-2909.128.4.612
Byrnes, J. P., & Wasik, B. A. (1991). Role of conceptual knowledge in mathematical procedural learning. Developmental Psychology, 27(5), 777–786. https://doi.org/10.1037/0012-1649.27.5.777
Canobi, K. H. (2009). Concept–procedure interactions in children's addition and subtraction. Journal of Experimental Child Psychology, 102(2), 131–149. https://doi.org/10.1016/j.jecp.2008.07.008
Crooks, N. M., & Alibali, M. W. (2014). Defining and measuring conceptual knowledge in mathematics. Developmental Review, 34(4), 344–377. https://doi.org/10.1016/j.dr.2014.10.001
D'Erchie, M., Forsmann, C. A., Schneider, M., & Obersteiner, A. (2026). Discriminant validity and interrelations of conceptual and procedural knowledge in fractions and algebra: Evidence from confirmatory factor analysis. British Journal of Educational Psychology. Advance online publication. https://doi.org/10.1111/bjep.70091
Fyfe ER, DeCaro MS, Rittle-Johnson B. An alternative time for telling: when conceptual instruction prior to problem solving improves mathematical knowledge. Br J Educ Psychol. 2014 Sep ;84(Pt 3) : 502-19. doi: 10.1111/bjep.12035. Epub 2014 Feb 5. PMID: 24494594.
Gilmore, C. (2023). Understanding the complexities of mathematical cognition: A multi-level framework. Quarterly Journal of Experimental Psychology, 76(9), 1953–1972. https://doi.org/10.1177/17470218231175325
Hiebert, J., & Lefevre, P. (1986). Conceptual and procedural knowledge in mathematics: An introductory analysis. In J. Hiebert (Ed.), Conceptual and procedural knowledge: The case of mathematics (pp. 1–27). Lawrence Erlbaum Associates.
Kilpatrick, J., Swafford, J., & Findell, B. (Eds.). (2001). Adding it up: Helping children learn mathematics. National Academy Press.
National Mathematics Advisory Panel. (2008). Foundations for success: The final report of the National Mathematics Advisory Panel. U.S. Department of Education.
Renkl, A., Stark, R., Gruber, H., & Mandl, H. (1998). Learning from worked-out examples: The effects of example variability and elicited self-explanations. Contemporary Educational Psychology, 23(1), 90–108. https://doi.org/10.1006/ceps.1997.0959
Rittle-Johnson, B. (2006). Promoting transfer: Effects of self-explanation and direct instruction. Child Development, 77(1), 1–15. https://doi.org/10.1111/j.1467-8624.2006.00852.x
Rittle-Johnson, B., & Schneider, M. (2015). Developing conceptual and procedural knowledge of mathematics. In R. Cohen Kadosh & A. Dowker (Eds.), The Oxford handbook of numerical cognition (pp. 1102–1118). Oxford University Press. https://doi.org/10.1093/oxfordhb/9780199642342.013.014
Rittle-Johnson, B., Schneider, M., & Star, J. R. (2015). Not a one-way street: Bidirectional relations between procedural and conceptual knowledge of mathematics. Educational Psychology Review, 27(4), 587–597. https://doi.org/10.1007/s10648-015-9302-x
Rittle-Johnson, B., Siegler, R. S., & Alibali, M. W. (2001). Developing conceptual understanding and procedural skill in mathematics: An iterative process. Journal of Educational Psychology, 93(2), 346–362. https://doi.org/10.1037/0022-0663.93.2.346
Schneider, M., Rittle-Johnson, B., & Star, J. R. (2011). Relations between conceptual knowledge and procedural knowledge in mathematics: A meta-analysis. Developmental Review, 31(1), 60–83. https://doi.org/10.1016/j.dr.2011.01.001
Schneider, M., & Stern, E. (2010). The developmental relations between conceptual and procedural knowledge: A multimethod approach. Developmental Psychology, 46(1), 178–192. https://doi.org/10.1037/a0016701
Star, J. R. (2005). Reconceptualizing procedural knowledge. Journal for Research in Mathematics Education, 36(5), 404–411.
Star, J.R., Tuomela, D., Joglar-Prieto, N. et al. Exploring students’ procedural flexibility in three countries. IJ STEM Ed 9, 4 (2022). https://doi.org/10.1186/s40594-021-00322-y
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