Des stratégies pour automatiser l’apprentissage de faits mathématiques

Voici la seconde partie d’une synthèse et d’un compte-rendu d’un guide pratique développé par Anne Stokke (2024), dans le cadre de son podcast Chalk and Talk. Il porte sur l’apprentissage et la maîtrise des faits en mathématiques. 

(Photographie : Burçin Esin)

Il résume les meilleures façons de développer l’automatisme des faits en mathématiques, basé sur un état des lieux de la recherche. Il illustre une convergence en faveur d’interventions de haute qualité en mathématiques soutenant le modèle de hiérarchie de l’apprentissage. L’automatisation des faits en mathématiques est une compétence fondamentale qui est essentielle pour réussir en mathématiques. 

Méthodes pour développer l’automaticité ou la maîtrise

 

Étant donné l’importance des automatismes, il est fondamental de savoir comment nous pouvons aider les élèves à les développer.

Différentes méthodes fondées sur la recherche peuvent aider les élèves à développer ces automatismes. Toutefois, il n’y a pas de solution miracle. Nous devons garder à l’esprit que la méthode doit répondre aux besoins des élèves là où ils se trouvent. Cela correspond au concept de hiérarchie pédagogique. Les élèves passent par quatre stades au cours de leur apprentissage. 

En ce qui concerne le développement d’automatismes pour les faits mathématiques, il

y a deux étapes de la hiérarchie pédagogique à prendre en compte pour développer l’automatisme des faits mathématiques : l’acquisition et la fluidité.

L’étape d’acquisition est la première phase au cours de laquelle les élèves sont souvent imprécis et sont donc encore en train d’acquérir de la précision.   

C’est par exemple : 

• Un enfant qui apprend à patiner. Il tombe régulièrement. Il est encore en train d’acquérir de la précision dans cette compétence.
• C’est la même chose avec les faits mathématiques. Un élève qui en est au stade de l’acquisition a encore du mal à trouver la bonne réponse. Il sait que 4 x 3 est 4 + 4 + 4, mais il a encore du mal à trouver 12 comme bonne réponse.   

Lorsque les élèves travaillent encore sur la précision de leurs réponses, il est important de les aider en pratiquant un petit ensemble de nouveaux faits mathématiques à la fois. Nous continuons à les soutenir jusqu’à ce qu’ils puissent s’en souvenir avec précision, plutôt que de les submerger avec un trop grand nombre de faits à la fois.  

L’étape de fluidité est la deuxième phase lors de laquelle les élèves sont capables de répondre aux questions sur les faits mathématiques avec une grande précision, mais ils sont encore lents.  

C’est par exemple : 

• Un enfant qui apprend à patiner et peut à ce stade rester debout sur ses patins, mais sa démarche est chancelante et lente. 
• En ce qui concerne les faits mathématiques, un élève au stade de la fluidité peut comprendre le fait mathématique, mais ce n’est pas automatique. Il doit réfléchir, ce qui le ralentit avant de pouvoir dire que 4 x 3 font 12.

Lorsqu’ils acquièrent de la fluidité, nous devons nous assurer que les élèves deviennent plus rapides afin que la compétence devienne automatique. L’acquisition de la fluidité s’applique à tous les comportements. Tout comme les golfeurs perfectionnent leur swing ou les musiciens répètent pour maîtriser un morceau de musique, le développement de la fluidité améliore les performances dans de nombreux domaines.

 

Nous devons garder également à l’esprit que des sessions courtes et fréquentes sont plus efficaces que des sessions longues et rares. En outre, il est plus efficace de s’entraîner tous les jours que tous les deux jours ou une seule fois par semaine.   

 

À quelle fréquence les élèves doivent-ils s’entraîner aux faits mathématiques ? Un bon objectif est de consacrer 4 minutes par jour, idéalement deux fois par jour. La pratique quotidienne est essentielle pour obtenir les meilleurs taux de réussite. Il s’agit d’essayer de s’entraîner tous les jours, pas seulement un jour sur deux ou une fois par semaine, mais de façon régulière. 

Ces techniques sont efficaces auprès d’un large éventail d’élèves, quels que soient leur âge, leurs compétences et leur environnement. La clé du succès réside dans des séances d’entraînement fréquentes et courtes, associées à de nombreux encouragements. De plus, il a été démontré que la pratique quotidienne est l’approche la plus efficace.  

L’acquisition d’automatismes en mathématiques est un investissement essentiel pour l’avenir de l’élève. Le temps et les efforts que y sont consacrés porteront leurs fruits et leur éviteront des frustrations et des difficultés à l’avenir.   

Acquisition des faits mathématiques fondamentaux

 

Les connaissances de base doivent comprendre les additions avec tous les nombres entiers positifs à un chiffre compris entre 1 et 9 (donc jusqu’à 9 + 9) et les soustractions correspondantes. Les faits de multiplication doivent aller jusqu’à 9 x 9 (ou, avec plus d’ambition, jusqu’à 12 x 12) et comprennent les faits de division correspondants. 

 

En matière de fluidité, il est bon de viser 40 à 60 faits mathématiques corrects en 1 minute. 

Idéalement, il faut viser l’automatisation des additions et des soustractions à la fin de la 2e année primaire et celle des multiplications et des divisions à la fin de la 3e année primaire. 

L’objectif est de mettre en place ces automatismes le plus tôt possible afin de faciliter l’apprentissage de problèmes plus complexes. Toutefois, il n’est jamais trop tard et il est toujours important de travailler avec des élèves, quel que soit leur âge, pour développer ces automatismes.

Lorsque la mémorisation des faits mathématiques est abordée avec les élèves, les concepts correspondants ont déjà été enseignés. À ce stade, les élèves ont déjà travaillé avec des éléments tels que les lignes numériques, les tableaux et le matériel de manipulation. Ils comprennent que la multiplication est une addition répétée. 

 

L’objectif est maintenant de les aider à consolider ces faits en mémoire afin qu’ils puissent s’en souvenir automatiquement. 

 

Le principe est d’associer le stimulus à la réponse. Pour mémoriser des faits, il est essentiel d’associer rapidement le stimulus à la réponse, par exemple en associant 7 x 8 à 56. 

Dès lors, ce n’est plus le moment d’utiliser du matériel de manipulation, de dessiner des tableaux ou de décomposer le problème à l’aide de stratégies de décomposition.  

 

L’objectif est de réduire au minimum le temps qui s’écoule entre le moment où l’on voit le fait (7 x 8) et celui où l’on se souvient de la réponse (56). Il s’agit d’établir un lien direct entre le stimulus et la réponse.

Nous pouvons faire une analogie avec l’entraînement de la mémoire musculaire dans le sport. Pour apprendre un mouvement spécifique, il ne faut pas se concentrer sur chaque partie du mouvement. Pour obtenir de bons résultats dans la pratique sportive, il faut que le mouvement soit automatique.  

Le processus pour devenir automatique avec les faits mathématiques est équivalent à se construire une mémoire musculaire. Nous voulons que le fait de se rappeler le fait 7 x 8 = 56 devienne une réaction instantanée sans avoir à le décomposer ou à y réfléchir.

 

L’usage des flashcards

Les flashcards sont performantes pour améliorer la précision, en particulier dans les premières étapes de l’apprentissage des faits mathématiques — la phase d’acquisition.

Les flashcards peuvent être utilisées en tête-à-tête avec un élève ou en binôme ou en petit groupe pendant les heures de cours.   

Voici les meilleures façons d’utiliser les flashcards :  

• Commencer par évaluer l’élève : 
• Nous déterminons les faits que l’élève connaît déjà. S’il peut répondre à un fait en deux secondes, ce fait est considéré comme « connu » à ce stade. 
• Nous séparons alors les faits connus des faits inconnus. 
• Commencer par 8 inconnues : 
• Commencer par un nombre raisonnable de flashcards de la pile des faits inconnus. Utiliser 8 flashcards peut être idéal.  
• Pour les jeunes élèves ou les élèves en difficulté, nous pouvons commencer par 4 flashcards sur les faits inconnus. Il s’agit de faire preuve de discernement. 
• Modélisation (première fois) : 
• Commencer par modéliser le processus et énoncer les faits.
• Passer en revue chacune des 8 cartes. Tout d’abord, montrer les cartes et dire : « 6 x 7 font 42 ». Demandez ensuite à l’élève de le répéter. 
• Mettre au défi : 
• Proposer un défi à l’élève. 
• Passer en revue chacune des 8 cartes.
• Montrer par exemple la carte « Qu’est-ce que 6x7 ? ». 
• S’il parvient à donner la réponse, féliciter  ! Sinon, lui donner la réponse et lui demander de la répéter.
• Passer en revue les 8 cartes au moins cinq fois par session.  
• Remplacer les faits mémorisés par de nouveaux faits :
• Après trois jours consécutifs, si l’élève est capable de répondre avec précision, remplacer les faits connus par de nouveaux faits et répéter l’exercice.
• Si les réponses sont toujours inexactes, prolonger l’exercice avec les mêmes faits pendant quelques jours.

Gérer la charge cognitive dans l’usage des flashcards

Les flashcards sont simples à utiliser et efficaces, et nous pouvons adapter le processus en fonction de l’élève. 

Certaines stratégies complémentaires sont exploitables pour diminuer la charge cognitive liée à de nouvelles flascards à apprendre :  

• Intercaler du connu et de l’inconnu : 
• Nous pouvons mélanger des faits connus et inconnus, en particulier pour les élèves qui se sentent frustrés.  
• Par exemple, nous pouvons présenter 7 faits connus et 3 faits inconnus pour encourager les élèves et leur permettre de s’entraîner sur des faits connus. 
• Répétition progressive : 
• Il s’agit d’imaginer que nous nous entraînons à jouer une nouvelle chanson au piano et que nous nous concentrons sur une nouvelle section que nous ne connaissons pas très bien.
• Nous pratiquons la nouvelle section, puis nous y ajoutons une partie familière et nous continuons à ajouter des parties plus familières, tout en pratiquant cette nouvelle partie jusqu’à ce qu’elle soit parfaitement fluide.
• Pour les faits mathématiques, la répétition progressive consiste à se concentrer sur un fait inconnu à la fois. Nous l’intercalons avec des faits que l’élève connaît déjà, en augmentant progressivement le nombre de faits connus dans la série d’exercices.   

 

Exemple de mise en œuvre de la répétition progressive : 

• Imaginons que le fait inconnu est 6 x 7.
• Nous commençons par montrer la flashcard et demandons à l’élève de répéter 6 x 7 = 42.  
• Dans une première série, nous présentons 6 x 7, l’élève dit que 6 x 7 est égal à 42. Puis nous prenons 3 x 5 de la pile connue, l’élève dit 15.  
• Dans une deuxième série, nous présentons 6 x 7, l’élève dit que 6  x7 est 42. Puis nous prenons 3 x 5, il dit 15, maintenant nous montrons un autre fait connu 5 x 5, l’élève dit 25.  
• Nous répétons ce processus, en ajoutant à chaque fois un fait connu, jusqu’à ce que notre dernière série commence avec un 6 x 7 inconnu et présente 9 faits connus. 
• Dans la série suivante, 6 x 7 devient l’un des faits connus.

La méthode regarder, récupérer et comparer 

 

La méthode « regarder, récupérer et comparer » est idéale pour renforcer la précision — au stade de l’acquisition. 

Elle est parfaite pour une utilisation individuelle ou à l’échelle de la classe. De plus, elle ne se limite pas aux faits mathématiques — elle est également efficace pour apprendre l’orthographe et maîtriser d’autres compétences fondamentales.

Supposons que nous essayions de dessiner quelque chose de mémoire, par exemple l’image d’un chien. Une bonne façon de procéder serait d’examiner la photo du chien. Nous la cachons ensuite et essayons de l’esquisser, puis nous comparons notre esquisse avec l’original, en la corrigeant si nécessaire et en répétant le processus jusqu’à ce que nous obtenions un bon résultat. 

 

La méthode « regarder, récupérer et comparer » est un peu la même chose, mais pour les faits mathématiques. 

 

Une feuille d’exercice exploitant la méthode « regarder, récupérer et comparer » présente de manière systématique un fait mathématique avec la réponse (comme 6 x 8 = 48) et un espace vide à côté. Il y en a environ 24 faits par page. 

 

Voici comment cela fonctionne : 

1. L’élève regarde le problème et sa réponse. C’est par exemple « 6 x 8 = 48 ». Cela peut se faire à voix haute ou par répétition mentale, selon le contexte.
2. L’élève dissimule le problème avec sa main ou un morceau de papier.
3. L’élève essaie de récupérer en mémoire le problème et la réponse de mémoire : 6 x 8 = 48. 
4. L’élève compare sa réponse et l’original pour vérifier sa réponse. S’il se trompe, il raye sa réponse et réécrit la bonne. 

Cette méthode permet une pratique répétée et un retour d’information.  

 

Les élèves peuvent écrire, dire ou penser à la réponse, selon l’approche privilégiée. L’écriture fournit une trace permanente et peut être idéale pour un enseignement à l’échelle de la classe, bien qu’elle prenne plus de temps, en particulier si certains élèves ont des problèmes d’écriture.  

Le fait de dire la réponse à haute voix ou de la penser peut augmenter les taux de réponse. Cependant, si un élève ne parvient pas à améliorer sa précision ou sa maîtrise des faits, nous n’avons pas de preuve tangible qu’il s’est engagé dans ce que l’on appelle un essai d’apprentissage. Nous voulons par exemple vérifier qu’il a associé le problème 7 x 6 à la réponse 42. Il peut donc être plus difficile de mesurer l’amélioration au fil du temps. Il s’agit de faire preuve de discernement pour choisir la méthode la mieux adaptée à notre situation. 

La méthode des problèmes enregistrés 

Les problèmes enregistrés peuvent être utilisés à la fois au stade de l’acquisition et au stade de la fluidité. Il s’agit d’une excellente méthode, parfaite pour une utilisation en classe ou individuelle. Elle possède une dimension ludique, car les élèves essaient de « battre l’ordinateur ». 

 

Il y a deux façons de procéder : 

• Soit, nous utilisons des fichiers audios et les feuilles d’exercice correspondantes.
• Soit l’enseignant, ou les parents peuvent jouer le rôle de l’ordinateur, en fournissant le signal audio (le problème 6 x 7) et la rétroaction (42).   

Principe de fonctionnement : 

1. L’ordinateur lit le problème, par exemple « 7 x 8 ».
2. Il marque une pause de 2 secondes avant de révéler la réponse, « 56 »
3. Pendant ce temps, les élèves essaient de battre l’ordinateur et d’écrire leur réponse en premier. 
4. L’élève vérifie sa réponse : si l’élève se trompe ou manque de temps, il écrit la bonne réponse. Il calculera son score global à la fin. 

Les problèmes enregistrés améliorent à la fois la précision et la fluidité. De plus, c’est un défi ludique pour les élèves qui essaient de battre l’ordinateur. 

Limites de la dimension ludique des apprentissages 

Introduire une dimension ludique dans les apprentissages active un biais motivationnel lié aux compétences biologiques primaires.

Dès lors, les jeux peuvent jouer un rôle dans le développement de la fluidité et dans l’acquisition d’une bonne maîtrise des faits mathématiques.

La méthode des problèmes enregistrés peut être considérée comme un jeu, car les élèves essaient de battre l’ordinateur. Il a été démontré que la méthode des problèmes enregistrés améliore à la fois la précision et la fluidité.   

Nous pouvons également créer un jeu comme la guerre des flashcards. Dans ce jeu, nous donnons aux élèves 1 ou 2 secondes pour répondre à chaque question. S’ils répondent correctement, ils gagnent un point, et s’ils ne répondent pas correctement, c’est nous qui gagnons le point. Ce jeu peut également être intégré au tutorat par les pairs à l’échelle de la classe. Nous mettons l’accent sur les faits connus par rapport aux faits inconnus, en incorporant des ensembles de taille appropriée (par exemple, 8 nouveaux faits sur lesquels on se concentre à la fois). Les flashcards, lorsqu’elles sont utilisées convenablement, sont reconnues pour leur efficacité.

 

Toutefois, beaucoup d’autres jeux peuvent ne pas être efficaces pour différentes raisons. 

Premièrement, toute méthode utilisée pour développer l’automatisme des faits mathématiques doit permettre une pratique ciblée, ce qui est particulièrement important au cours de la phase d’acquisition. Cela signifie que nous devons être en mesure de sélectionner systématiquement les faits mathématiques sur lesquels mettre l’accent, ce que ne font pas de nombreux jeux.  

 

Deuxièmement, l’approche doit favoriser des taux de réponse élevés. Nous veillons à ce que les élèves répondent à un grand nombre de faits mathématiques au cours de la session, afin de maximiser les opportunités d’apprentissage et de renforcement. 

La méthode des problèmes enregistrés est spécifiquement conçue pour atteindre ces objectifs. À l’opposé, si un jeu n’incorpore pas des séries désignées de faits mathématiques avec des taux de réponse élevés, il est peu probable qu’il soit très efficace.   En outre, le moment approprié pour utiliser les jeux se situe au stade de la fluidité, lorsque les élèves sont déjà précis, mais que nous essayons d’augmenter la vitesse — et non au stade de l’acquisition.

La pratique chronométrée

La pratique chronométrée est un outil puissant et important pour développer la fluidité. Elle est introduit au stade de la fluidité. La pratique chronométrée est cruciale pour les élèves qui sont précis, mais lents. 

 

L’intégration d’une pratique chronométrée est essentielle pour que les élèves deviennent automatiques avec les faits mathématiques. Nous visons de 40 à 60 faits mathématiques corrects par minute. La précision est une première étape importante, mais elle ne suffit pas.     

 

La fluidité, acquise grâce à une pratique chronométrée, est importante. Il suffit de réfléchir à la différence pour un élève qui prend deux fois plus de temps qu’un autre pour répondre aux questions mathématiques. 

Supposons que le premier élève puisse répondre à 25 faits mathématiques par minute et que le deuxième élève puisse répondre à 50 faits mathématiques par minute. Le premier élève aura plus de mal à résoudre les problèmes qui font appel à la mémoire des faits mathématiques. Dans des sujets tels que l’addition de fractions, il aura besoin de plus de temps pour calculer les dénominateurs communs, ce qui limitera le nombre de problèmes qu’il pourra résoudre au cours d’une session. Pendant ce temps, l’élève le plus rapide s’entraîne davantage, ce qui creuse l’écart sur une compétence mathématique importante : l’addition de fractions. 

Avec un rappel plus lent, le premier élève manque une pratique essentielle et risque de prendre du retard, ce qui crée un effet boule de neige dans son apprentissage. 

 

Nous pouvons amener cet élève à être aussi rapide que le second, mais c’est là qu’intervient la pratique chronométrée.   

 

Idéalement, nous devrions introduire le chronométrage lorsque les élèves ont une bonne connaissance des faits mathématiques, ce qui signifie qu’ils obtiennent des résultats corrects la plupart du temps (disons 90 % du temps), mais qu’ils sont lents. 

Nous devons évaluer les élèves. S’ils atteignent environ 20 chiffres corrects par minute, c’est le bon moment pour introduire le chronométrage explicite. Par « chiffres corrects par minute », nous entendons que si l’élève écrit 7 x 6 = 41, cela compte pour un seul chiffre correct (le 4 et pas le 1).

C’est un bon moyen d’évaluer si les élèves sont prêts pour la pratique chronométrée. Les élèves suivront ensuite leurs progrès en matière de problèmes corrects par minute — ce qui signifie que nous voulons nous assurer qu’ils obtiennent 7 x 6 = 42, l’objectif étant d’atteindre 40 à 60 problèmes corrects par minute.

 

Principe de la pratique chronométrée :  

On donne aux élèves une feuille de calcul et on leur laisse une minute. Les élèves reçoivent une feuille complète de faits mathématiques. Typiquement, chaque feuille contient 72 faits. Les élèves vont devoir en résoudre autant qu’ils le peuvent en une minute.  

Auparavant, on aura donné des instructions aux élèves. On leur demande de résoudre les problèmes dans l’ordre, en passant d’une ligne à l’autre. Cette approche les empêche de passer directement aux questions auxquelles ils peuvent répondre rapidement. Nous voulons nous assurer qu’ils pratiquent tous les faits mathématiques et pas seulement ceux qu’ils connaissent déjà bien. 

Nous assurons le suivi des progrès. Le suivi des progrès est essentiel dans ce processus. Les élèves doivent enregistrer chaque jour leurs scores (problèmes corrects par minute) sur un graphique personnel et s’efforcer d’améliorer leurs scores précédents. Les élèves doivent suivre leurs progrès au fil du temps, en essayant de battre leurs scores précédents. Cela permet d’améliorer la fluidité et de développer un sentiment d’accomplissement. Nous les félicitons pour leur travail et nous leur rappelons le chemin parcouru et les avantages qu’ils en tireront lorsqu’ils apprendront de nouveaux concepts mathématiques. 

Encore une fois, il est important de s’entraîner quotidiennement et de répartir les exercices chronométrés tout au long de la journée, par exemple une fois le matin et une fois l’après-midi. Il a été démontré que cette approche permettait d’augmenter les taux d’apprentissage. 

 

L’enjeu est de combiner des exercices chronométrés, des commentaires sur les performances, du renforcement positif et des efforts quotidiens réguliers. Les élèves constateront des progrès mesurables au fil du temps. Cela leur donnera la confiance et les compétences dont ils ont besoin pour s’attaquer à des concepts mathématiques plus difficiles, ce qui est en fin de compte notre objectif. 

Bibliographie 

Anna Stokke, Ep 36. How to Build Automaticity with Math Facts:

A Practical Guide (solo episode), 2024, https://www.annastokke.com/ep-36-resources