Résoudre un problème de mathématique qui est entièrement nouveau pour un apprenant est souvent une tâche exigeante et difficile. Il peut se sentir dépassé ou ne pas savoir par où commencer.
(Photographie : Christian Herrera)
Une question légitime est de se demander quelle est la meilleure façon d’apprendre les mathématiques. Les élèves ont à la fois besoin d’acquérir des connaissances procédurales (la connaissance des étapes nécessaires pour résoudre un problème) et des connaissances conceptuelles (la connaissance des principes du domaine).
Voici une synthèse de la méta-analyse de Barbieri et ses collaborateurs (2023) sur ces questions.
L’importance des compétences fondamentales en mathématiques
L’incapacité à développer des compétences fondamentales en mathématiques dans les classes élémentaires et intermédiaires empêche la réussite universitaire (NMAP, 2008) et la poursuite de carrières dans les STIM - science, technologie, ingénierie et mathématiques (Shapka et coll., 2006).
Les difficultés en mathématiques peuvent limiter les opportunités de carrière (Sadler & Tai, 2007) et la qualité de vie en général.
Selon les résultats de l’étude Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS) de 2019, seuls sept des 58 pays évalués ont atteint le niveau élevé. Un seul a atteint le niveau avancé lors de l’évaluation des résultats en mathématiques en quatrième année (primaire). Les pays restants ont obtenu des résultats intermédiaires ou faibles.
Dès lors, il est essentiel d’identifier des stratégies qui améliorent l’apprentissage des mathématiques et qui pourraient être facilement mises en œuvre dans les classes du monde entier.
La recherche en psychologie de l’éducation a révélé de nombreuses stratégies pédagogiques utiles pour soutenir l’apprentissage des mathématiques. L’une de ces stratégies, qui a fait l’objet de nombreuses études internationales dans le domaine de l’apprentissage des mathématiques, est l’utilisation de problèmes résolus (c’est-à-dire des solutions de problèmes élaborées).
L’effet du problème résolu
Une stratégie d’étude utile pour l’apprentissage des mathématiques consiste à étudier un problème résolu. Un problème résolu est un problème dont les étapes de la solution ont déjà été élaborées et développées.
Les problèmes résolus, associés à la résolution traditionnelle de problèmes, sont efficaces pour aider les élèves à apprendre à résoudre des problèmes dans de nombreux domaines, notamment les mathématiques, la physique, l’ingénierie et l’informatique.
Parfois, les problèmes résolus sont accompagnés d’invites permettant aux élèves d’expliquer eux-mêmes les étapes à suivre.
La cadre de la théorie de la charge cognitive permet d’expliquer pourquoi l’étude de problèmes résolus facilite l’apprentissage des mathématiques.
L’étude de solutions de problèmes résolus encourage les apprenants à consacrer leurs efforts cognitifs à l’étude des caractéristiques et processus pertinents de la résolution du problème. Cela conduit finalement au développement de schémas pour ce type de problème, ce qui améliore les performances ultérieures sur des problèmes similaires (Sweller, 2012). La résolution de problèmes seule n’est pas aussi efficace pour atteindre cet objectif.
L’explication se fonde sur la capacité limitée de la mémoire de travail à traiter des informations nouvelles. Lorsque nous avons trop d’éléments nouveaux sur lesquels nous concentrer, nous pouvons avoir du mal à nous concentrer sur les informations pertinentes nécessaires à l’apprentissage.
L’étude d’un problème résolu permet de surmonter cette difficulté en mettant en évidence les informations pertinentes.
Dans le cas des recherches typiques sur l’effet du problème résolu, les apprenants qui ont étudié des problèmes résolus obtiennent de meilleurs résultats au test que ceux qui se sont contentés de résoudre des problèmes.
De nombreuses recherches montrent que l’étude de problèmes résolus est une technique efficace pour l’apprentissage des mathématiques.
L’importance de l’effet du problème résolu
Barbieri, Miller-Cotto, Clerjuste et Chawla (2023) se sont interrogés sur les limites de l’effet du problème résolu. Ils ont voulu savoir dans quelle mesure les problèmes résolus sont réellement efficaces. Ils ont réalisé une méta-analyse qui a agrégé les résultats de 55 études portant sur les effets des problèmes résolus dans l’apprentissage des mathématiques.
Ils ont constaté que les problèmes résolus favorisaient effectivement l’apprentissage des mathématiques par rapport aux conditions de contrôle impliquant uniquement la résolution de problèmes. L’étude de problèmes résolus apporte un bénéfice moyen net par rapport à la simple résolution de problèmes. La taille moyenne de l’effet du problème résolu sur les résultats en mathématiques était moyenne avec g=0,48 et p=0,01.
L’étude de problèmes résolus a un effet positif et modéré sur l’apprentissage des mathématiques par les élèves tout au long de leur scolarité. Les apprenants qui étudient des problèmes résolus améliorent leur performance en mathématiques de près d’un demi écart-type (g=0,48) par rapport à ceux qui n’en étudient pas.
Barbieri et ses collègues (2023) ont cherché à savoir si les avantages des problèmes résolus dépendaient de certains facteurs. Il est apparu que les exemples corrects semblent plus efficaces que les exemples incorrects seuls ou combinés à des exemples corrects. De plus, les conditions qui incluent des invites d’auto-explication semblent moins efficaces que les conditions d’exemple sans invites d’auto-explication.
Fondements théoriques de l’effet du problème résolu
L’effet du problème résolu est considéré comme un exemple prototypique de la théorie de la charge cognitive (Sweller, 1988).
La théorie de la charge cognitive explique que la capacité cognitive des êtres humains est limitée dans ce qu’elle peut traiter. La pratique traditionnelle de résolution de problèmes (c’est-à-dire tenter de résoudre un problème nouveau à partir de ses connaissances actuelles) surcharge cette capacité pour un apprenant novice. Elle ne laisse pas suffisamment de place pour l’acquisition et le développement approprié de nouvelles structures de connaissances ou de schémas.
Lorsqu’ils s’exercent à une nouvelle matière, les apprenants peuvent étudier des exemples résolus, c’est-à-dire des problèmes présentés avec des solutions entièrement élaborées — avant d’essayer de résoudre un problème similaire.
Lorsque les élèves étudient ces exemples, ils ne sont pas obligés de générer des processus aléatoires pour résoudre le problème présenté ou de s’intéresser à des éléments non pertinents. Au contraire, ils peuvent consacrer leur effort cognitif à l’étude des seuls aspects pertinents pour la résolution du problème et du processus correct d’acquisition et de développement de schémas pour le type de problème étudié (Sweller, 2006).
L’idée est qu’après avoir étudié plusieurs exemples pratiques, l’élève peut extraire les caractéristiques ou les principes de résolution d’un problème qui sont communs à d’autres problèmes de ce type. Cela permet d’éviter la surcharge cognitive, ce qui conduit à l’automatisation de la résolution de problèmes dans ce domaine.
La théorie de la charge cognitive suggère que lorsque les individus résolvent un problème, une grande partie de leur effort cognitif est consacrée à ce qu’on appelle une analyse moyens-fins. Celle-ci compare l’état actuel du problème (le problème) et à l’état de l’objectif (la solution). Ce processus, en particulier pour les apprenants novices, impose une charge cognitive plus importante, qui empêche l’apprenant de résoudre le problème ou d’acquérir des connaissances supplémentaires.
Pour remédier à ce problème, la théorie de la charge cognitive suggère que la conception pédagogique vise à limiter l’éparpillement des ressources cognitives pendant la phase d’apprentissage et la phase de résolution de problèmes (Renkl & Atkinson, 2010). La focalisation simultanée imposerait des exigences extrêmes aux processus cognitifs et inhiberait l’apprentissage.
À l’opposé, les problèmes résolus permettent à l’apprenant de se concentrer sur l’apprentissage sans avoir besoin de résoudre des problèmes.
L’impact de l’utilisation de problèmes résolus incorrects
Les problèmes résolus sont souvent présentés comme ayant été réalisés par un élève fictif et associés à un problème pratique similaire. Le plus souvent, les problèmes résolus présentent une solution correctement élaborée.
Cependant, des solutions incorrectes sont également utilisées et sont censées attirer l’attention des élèves sur le principe sous-jacent qui rend une solution incorrecte et affiner la résolution de problèmes.
Un problème résolu incorrect est un problème résolu qui présente une erreur courante commise par les élèves lors de la résolution du problème et qui est qualifié d’incorrect. L’étude de problèmes résolus incorrects serait bénéfique pour l’apprentissage, car elle attire l’attention sur les caractéristiques particulières d’un problème qui rendent la procédure inappropriée.
Barbieri et ses collègues (2023) ont constaté dans leur méta-analyse que l’étude des étapes correctes était plus bénéfique que l’étude des exemples incorrects (seuls ou avec des exemples corrects).
Toutefois, il est possible que les problèmes résolus incorrects soient particulièrement bénéfiques pour les personnes ayant peu de connaissances préalables, c’est-à-dire celles qui sont les plus susceptibles de commettre l’erreur démontrée.
L’impact de l’auto-explication sur l’effet du problème résolu
Les problèmes résolus sont souvent associés à des messages d’auto-explication. Il s’agit généralement de questions écrites qui demandent aux élèves d’expliquer une stratégie ou un concept présenté dans un problème résolu.
Certains travaux suggèrent que les auto-explications augmentent l’efficacité des exemples travaillés (Berthold et coll., 2009 ; Catrambone & Yuasa, 2006 ; Renkl et coll., 1998). Les messages-guides d’auto-explication sont considérés comme efficaces parce qu’ils obligent les apprenants à rendre leurs connaissances explicites en générant et en intégrant de nouvelles connaissances aux connaissances antérieures (Chi, 2013).
Une méta-analyse récente a révélé que le fait d’inviter les apprenants à s’auto-expliquer entraîne des effets faibles à modérés immédiatement après l’intervention (Rittle-Johnson et coll., 2017). Ceux-ci sont fonction du type de résultat en mathématiques (par exemple, connaissances procédurales, connaissances conceptuelles, transfert)
Barbieri et ses collaborateurs (2019) ont constaté que les problèmes résolus associés à des questions d’auto-explication étaient plus efficaces que les problèmes résolus seuls. Ils étaient aussi efficaces que ceux associés à des signaux visuels dans l’ensemble. Cependant, lorsque ces deux caractéristiques étaient combinées (questions d’auto-explication plus indices de signalisation visuelle), il n’y avait pas d’avantage par rapport aux problèmes résolus seuls. La raison serait que cette combinaison peut provoquer un effet de redondance. L’apprenant se voit présenter la même information ou des informations similaires sous deux formes différentes, ce qui entraîne une efficacité moindre, voire des effets délétères par rapport aux effets de l’une ou l’autre caractéristique seule.
De plus, les étudiants qui présentaient une forte prévalence d’idées fausses au début de l’étude ont davantage bénéficié de problèmes résolus complétés par des signaux visuels. Ils ont moins profité des problèmes résolus complétés par des messages-guides explicatifs ou de problèmes résolus seuls.
Dans leur méta-analyse, Barbieri et ses collègues (2023) ont constaté que le fait d’inviter à l’auto-explication dans les problèmes résolus réduisait l’avantage de ces derniers. L’inclusion d’incitations à l’auto-explication a modéré de manière significative l’effet des exemples, produisant un effet négatif par rapport aux conditions d’étude de problèmes résolus qui n’incluaient pas d’invites d’auto-explication.
Une explication possible de l’impact négatif de l’auto-explication pourrait être que l’efficacité des messages-guides d’auto-explication peut varier en fonction du type de message-guide utilisé (Dunlosky et coll., 2013).
Selon Kuhn et Katz (2009), lorsque les auto-explications générées par les apprenants ne sont pas de grande qualité, elles ne permettent pas d’intégrer les nouvelles informations dans leurs croyances antérieures. Cela laisse supposer un rôle des connaissances antérieures.
Il est probable que la qualité des auto-explications suscitées par les messages-guides varie, ce qui se traduit par une efficacité variable de leur utilisation. En outre, dans certains cas, lorsque l’on combine des auto-explications avec d’autres éléments de conception, cela peut également créer un effet de redondance (par exemple, Barbieri et coll., 2019 ; Sweller, 2012).
Moment de la mise en œuvre de l’étude de problèmes résolus
Une question importante est le moment de la mise en œuvre de l’étude de problèmes résolus au cours des phases d’apprentissage.
Deux modèles de phase liés à l’apprentissage à partir de problèmes existent. Tous deux préconisent l’utilisation de problèmes résolus dans les premiers stades de l’acquisition des compétences, l’objectif étant qu’ils soient ensuite abandonnés et remplacés par des problèmes pratiques. Dans les deux modèles de phase, l’objectif est que les apprenants s’appuient sur des problèmes résolus pour acquérir ou affiner les informations sur les procédures. Ils utilisent ces exemples comme guide pendant la pratique jusqu’à ce qu’ils ne soient plus nécessaires parce qu’ils sont stockés dans la mémoire à long terme pour une référence future.
Dans le premier modèle, des problèmes résolus sont utilisés pour introduire un nouveau contenu et aider les apprenants à développer de nouveaux schémas dans un domaine.
Dans le second modèle, des problèmes résolus sont utilisés après l’enseignement initial comme une forme de pratique dans le but d’affiner et de renforcer les schémas existants.
Ces deux modèles divergent en ce qui concerne l’effet d’inversion de l’expertise. Au fur et à mesure que les apprenants gagnent en expertise, les procédures ou stratégies pédagogiques conçues pour aider les novices deviennent moins efficaces, voire contre-productives. Ils ont des effets négatifs ou néfastes sur l’apprentissage (Kalyuga et coll., 2012).
Le remplacement de certains problèmes pratiques par des problèmes résolus serait plus efficace que la résolution de problèmes seule dans les premiers stades de l’acquisition des compétences. Cependant, à mesure que les connaissances et l’expertise augmentent, la pratique de la résolution de problèmes peut être plus efficace que l’étude d’exemples (Sweller et coll., 2019).
Certains travaux de recherche appuient cet effet général d’inversion de l’expertise dans la littérature sur les problèmes résolus, mais la relation n’est pas toujours apparente.
Dans leur méta-analyse, Barbieri et ses collègues (2023) ont considéré le moment de la mise en œuvre des exemples (c’est-à-dire la phase générale d’acquisition des compétences) comme un modérateur potentiel de l’effet.
Les élèves qui ont moins de connaissances préalables sur la matière à apprendre peuvent tirer davantage profit des problèmes résolus que ceux qui en ont davantage. Les problèmes résolus sont particulièrement utiles pour développer la connaissance des procédures.
Barbieri et ses collègues (2023) n’ont pas constaté que le bénéfice des problèmes résolus dépendait systématiquement des connaissances préalables des personnes :
- Certaines études ont constaté que les avantages étaient plus importants lorsque les connaissances préalables étaient plus élevées.
- D’autres études ont constaté que les avantages étaient plus importants lorsque les connaissances préalables étaient moins élevées.
- D’autres études n’ont trouvé aucune interaction.
La question du moment exact où l’usage de l’étude de problème résolu devient contreproductive en fonction des connaissances préalables n’est donc pas tranchée.
Implications pour la mobilisation des problèmes résolus dans un cours de mathématiques
Dans l’ensemble, les problèmes sont un moyen efficace d’améliorer les performances en mathématiques.
L’avantage en matière de performance semble plus important pour les problèmes résolus corrects que pour les problèmes résolus incorrects et ne dépend pas des connaissances préalables.
Toutefois, les avantages des problèmes résolus peuvent être entravés lorsqu’on demande aux élèves d’expliquer l’exemple.
Un enseignant a intérêt à fournir en suffisance des exemples de problèmes résolus pour tous les points de matière à apprendre en rapport.
Un élève qui a du mal à comprendre un concept ou une procédure en mathématiques a intérêt à étudier un problème résolu en relation. Il importe donc d’incorporer l’étude de problèmes comme étant une pratique d’apprentissage efficace pour les mathématiques, car ils peuvent améliorer les performances.
L’étude de problèmes résolus permet également d’aider à évaluer ou à contrôler ses connaissances. Nous avons tendance à surestimer nos connaissances, ce qui peut nous induire en erreur lorsque nous étudions, en consacrant trop peu de temps à la matière que nous devons apprendre. Baars et ses collègues (2014, 2017) ont démontré que l’excès de confiance des élèves au primaire et au secondaire diminuait lorsqu’ils s’exerçaient à la résolution de problèmes après avoir étudié des problèmes résolus.
Le fait de fournir aux élèves de l’enseignement secondaire des problèmes pratiques après l’étude de problèmes résolus permet d’améliorer la précision du jugement sur l’apprentissage de la régulation.
Bibliographie
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