jeudi 6 janvier 2022

Pour un enseignement explicite de l’algèbre

L'algèbre est une branche des mathématiques qui permet d'exprimer les propriétés des opérations et le traitement des équations et aboutit à l'étude des structures algébriques. 

(Photographie : Noele Lusano)



Dans un cadre scolaire, l’algèbre demande chez les élèves le développement progressif d’une capacité de réflexion abstraite en mathématiques. 

Voici la première partie d’une synthèse à partir d’un guide pratique que l’Institute of Education Sciences a consacré à l’enseignement de l’algèbre dans le secondaire (Star et coll., 2015).



Les enjeux liés à l’algèbre


Nous voulons dépasser l’accent mis spécifiquement et souvent majoritairement sur des opérations arithmétiques en vue de la mobilisation de démarches calculatoires ou de simplification. 

Dans l’esprit de nombreux élèves, l’objectif de ces dernières semble souvent à se réduire à la recherche de la bonne réponse et ils empruntent une stratégie moyens-fin. Nous devons les aider à privilégier la structuration d’un raisonnement qui guide la résolution. À ce titre, rien n’est plus profitable que l’étude de problèmes résolus.

L’enjeu de l’algèbre est de se concentrer sur l’utilisation de symboles et de paramètres pour représenter les nombres, exprimer des relations mathématiques et leurs propriétés. 

L’algèbre exige la maîtrise de représentations multiples, notamment des symboles, des équations, des graphiques et des liens entre eux, ainsi que la capacité de raisonner logiquement. Ces deux éléments qui jouent un rôle crucial dans les cours de mathématiques plus avancés. 

La compréhension de l’algèbre est un élément clé de la réussite des futurs cours de mathématiques, y compris la géométrie et le calcul. 

De nombreux experts en mathématiques considèrent également que les connaissances et les compétences en algèbre sont importantes pour la réussite dans l’enseignement supérieur. Elles le sont également dans le cadre de la formation d’une main-d’œuvre qualifiée pour des carrières scientifiques et techniques. De manière générale, elles sont un atout important pour tout élève inscrit dans une filière STEM (Science, technology, engineering, and mathematics) ou associée.



Domaines de compétence en algèbre



Les connaissances et aptitudes que les élèves en algèbre doivent acquérir et maîtriser en algèbre peuvent être classées dans trois domaines : 
  • Les connaissances conceptuelles
  • Les connaissances procédurales
  • La flexibilité procédurale

La connaissance conceptuelle, la connaissance procédurale et la flexibilité procédurale sont des compétences distinctes. La compétence mathématique résulte du développement de ces compétences et d’autres compétences et de l’établissement de liens entre elles.

Chaque domaine correspond à une capacité ou une exigence de compréhension importante. Toutefois, bien que théoriquement distinctes, ces compétences sont souvent difficiles à mesurer empiriquement. Les mesures de ces différentes connaissances tendent à se chevaucher.


Connaissances conceptuelles


Les connaissances conceptuelles en algèbre représentent la compréhension des idées, des opérations, des procédures et de la notation. 

À ce niveau nous n’abordons pas encore la question de la résolution de problèmes.

Exemples :
  • Identifier que l’expression « -5 x + 6 » est égale à « 6 - 5x » ou à « 6 + (-5 x) », mais pas égale à « -6 + 5x ».
  • Traduire des mots, par exemple « cinq de moins qu’un nombre » en une expression algébrique « x – 5 »
  • Comprendre que les équations « 98 = 21 x » et « 98 + 2 (x + 1) = 21x + 2 (x + 1) » sont équivalentes. Dans ce cas, nous examinons la compréhension par l’élève de la propriété additive du principe d’égalité.



Connaissances procédurales


Les connaissances procédurales comprennent le choix des opérations et des procédures pour résoudre les problèmes d’algèbre. Elles incluent également l’application rigoureuse des opérations et des procédures pour aboutir à une solution correcte du problème considéré. 

Exemples :
  • Résoudre l’équation quadratique « x^ 2 + 10x - 20 = 0 ». Dans ce cas, nous examinons la capacité de l’élève à résoudre l’équation.



Flexibilité procédurale


La flexibilité procédurale comprend l’identification et la mise en œuvre de plusieurs méthodes pour résoudre un problème d’algèbre, ainsi que le choix de la méthode la plus appropriée. 

La flexibilité comprend :
  • La connaissance d’une variété de stratégies pour résoudre un problème donné ;
  • La capacité de choisir la stratégie la plus appropriée en fonction des caractéristiques identifiées ce problème. 

Une stratégie appropriée peut être la plus efficace pour le problème ou celle qui correspond le mieux aux caractéristiques et à la structure du problème.

Exemples
  • Résoudre de manière pertinente « 98 + 2 (x + 1) = 21x + 2 (x + 1) ». Nous examinons la capacité de l’élève à résoudre des problèmes en utilisant la méthode la plus opportune. Un élève est susceptible d’utiliser deux méthodes différentes, il peut :
    • Distribuer puis répartir les termes semblables des deux côtés, puis enfin résoudre pour x (démarche longue et générique).
    • Éliminer les termes semblables des deux côtés de l’équation, puis résoudre x. (démarche rapide et pertinente)
  • Résoudre « 2 (x + 1) = 18 » en utilisant deux approches différentes. Nous examinons ici la capacité de l’élève à résoudre des problèmes en utilisant plusieurs méthodes : 
    • Distribuer puis répartir les termes semblables des deux côtés, puis résoudre pour x 
    • Diviser d’abord les deux côtés de l’équation par 2, puis résoudre x.



Aider les élèves à apprendre l’algèbre



En développant une compréhension plus approfondie de l’algèbre


La maîtrise des opérations arithmétiques est importante pour devenir compétent en algèbre. Cependant, des connaissances isolées ne mènent qu’à une compréhension d’ensemble superficielle. Nous devons savoir comment les utiliser, quand les utiliser et pourquoi les utiliser.

Les préconisations habituelles recommandent un enseignement de l’algèbre qui amène les élèves à dépasser les connaissances mathématiques superficielles et à acquérir une compréhension plus approfondie de l’algèbre.

Nous devons encourager nos élèves à établir des liens entre les concepts algébriques et les procédures sollicitées par la résolution des problèmes. 

Nous devons les aider à reconnaître stratégiquement comment l’identification de variables, de paramètres et l’introduction de symboles dans des énoncés ont un grand impact sur l’apprentissage des stratégies de résolution. Ce type de démarche est bien plus profitable que la réalisation rapide et automatique d’opérations. L’analyse de la situation et de l’énoncé, suivi de la détermination par discrimination d’une stratégie potentiellement pertinente à appliquer ont plus d’impact que de se lancer dans une stratégie moyens-fins.

Les enseignants doivent veilleur à amener leurs les élèves à réfléchir avant de se lancer tête baissée dans la recherche d’une réponse :
  • Que me demande-t-on de faire dans ce problème ? 
  • Que puis-je déduire de la forme ou de la nature de cette expression ou de cette équation ?
  • Quelles sont les relations entre les variables dans cette expression ou cette équation ? 
  • Comment puis-je vérifier que ma solution est correcte ou vraisemblable ? 



En promouvant une réflexion axée sur les processus


Pour éviter le fait que les élèves se focalisent principalement sur l’obtention de la réponse finale correcte, nous devons promouvoir la compréhension des processus par lesquels nous établissons la résolution des problèmes d’algèbre.

L’enseignant encourage la réflexion de ses élèves en posant des questions telles que :
  • Quelles décisions as-tu prises pour résoudre ce problème ? 
  • Quelles étapes as-tu suivies pour résoudre ce problème ?
  • As-tu toujours appliqué la bonne stratégie ? Si oui, pourquoi l’as-tu sélectionnée au départ ? Sinon qu’est-ce qui t’a amené à rectifier ?
  • Existe-t-il d’autres façons de résoudre le problème ? 
  • Peux-tu montrer et expliquer (à l’aide de schémas, graphiquement ou par des données) comment tu as résolu le problème ?



En encourageant une communication précise


Les enseignants offrent à leurs élèves de fréquentes occasions de raisonner et de parler des concepts, procédures et stratégies en mathématiques tout en utilisant un langage mathématique précis et en obtenant une rétroaction formative sur leurs réponses.

Cette communication joue un rôle clé pour aider les élèves à développer leur compréhension des mathématiques et leur capacité à communiquer et raisonner dans cette matière.

Exemples de questions :
  • Comment décrirais-tu ce problème en utilisant un langage mathématique précis ? 
  • Comment décrirais-tu ta stratégie de résolution de ce problème en utilisant un langage mathématique précis ? 



Aperçu des trois recommandations


Les trois recommandations seront détaillées dans trois articles, en attendant en voici un aperçu.



Utiliser des problèmes résolus pour amener les élèves à analyser le raisonnement et les stratégies algébriques


Nous demandons aux élèves d’observer, d’analyser et d’étudier les procédures, étapes, raisonnements et structures de problèmes résolus afin d’établir des liens entre les stratégies employées et le raisonnement appliqué. 

Nous choisissons des problèmes résolus qui reflètent l’objectif pédagogique de la leçon, y compris des problèmes qui illustrent des erreurs courantes. 

Lors de la pratique, nous commençons par confronter les élèves à des problèmes partiellement résolus et nous progressions vers de problèmes à résoudre complètement en retirant progressivement l’étayage.

Nous utilisons des discussions en classe entière lors de la pratique guidée. Lors de la pratique autonome, nous mettons en œuvre des travaux en petits groupes et des activités de pratique indépendante pour présenter, développer et pratiquer le travail avec des problèmes résolus. 



Apprendre aux élèves à utiliser la structure des représentations algébriques

 
Nous encourageons en classe l’utilisation d’un langage qui reflète la structure mathématique. 

Nous encourageons les élèves à utiliser et développer un questionnement réfléchi pour remarquer la structure mathématique sous-jacente lorsqu’ils résolvent des problèmes. 

Nous enseignons aux élèves que différentes formes de représentations algébriques peuvent transmettre différentes informations sur un problème d’algèbre.



Apprendre aux élèves à choisir intentionnellement parmi différentes stratégies algébriques lorsqu’ils résolvent des problèmes


Nous devons apprendre aux élèves à reconnaître et à générer des stratégies pour résoudre des problèmes.

Nous devons encourager nos élèves à articuler le raisonnement derrière leur choix de stratégie et la validité mathématique de leur stratégie lors de la résolution de problèmes. 

Nous devons demander à nos élèves d’évaluer et de comparer différentes stratégies de résolution de problèmes. 



Mise en œuvre


Ces recommandations peuvent être mises en œuvre individuellement dans n’importe quel ordre ou quel ensemble en même temps, à une exception près ! 

Les pratiques proposées dans la troisième recommandation sont plus efficaces si elles sont mises en œuvre une fois que les élèves ont acquis une certaine maîtrise des procédures et des stratégies algébriques. 

Les pratiques recommandées s’intègrent mutuellement et peuvent être imbriquées pour atteindre une meilleure synergie et une meilleure efficacité.

Chaque recommandation peut être utilisée pour développer les connaissances conceptuelles, les connaissances procédurales et la flexibilité procédurale. 

Par exemple, les problèmes résolus peuvent être utilisés pour enseigner la structure de résolution algébrique et les stratégies de solutions multiples. Ils peuvent aider les élèves à apprendre les concepts, les stratégies, le raisonnement et la structure algébrique. 



Bibliographie


Star, J. R., Caronongan, P., Foegen, A., Ferguson, J., Keating, B., Larson, M. R., et al. (2015). Teaching strategies for improving algebra knowledge in middle and high school students (NCEE 2014–4333). Washington, DC: National Center for Education Evaluation and Regional Assistance (NCEE), Institute of Education Sciences, U.S. Department of Education. Retrieved from: https://ies.ed.gov/ncee/wwc/PracticeGuides 

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