La mise en œuvre d’un enseignement explicite des mathématiques implique une bonne compréhension et une bonne gestion de la charge cognitive ressentie par les élèves lors de l’enseignement et de l’apprentissage.
Objectif de l’enseignement en mathématiques
Du point de vue de la science des mathématiques, l’objectif de l’enseignement d’une tâche donnée est d’aider les élèves à passer :
- D’une compréhension plus primitive, naïve ou état initial
- Vers le schéma expert ou état final visé par l’enseignant de mathématiques.
À ce titre, les enseignants doivent d’abord en savoir plus sur les connaissances conceptuelles actuelles ou préexistantes des élèves. Ils les vérifient par le biais d’un suivi et d’une évaluation formels et informels. C’est le principe de l’évaluation diagnostique.
Une fois que l’état initial « novice » et l’état objectif « expert » attendu en fin d’apprentissage ont été établis, les enseignants sont en mesure d’élaborer une stratégie pour combler l’écart entre les deux états.
En partant des besoins des élèves, les enseignants sont en mesure de gérer la charge cognitive des élèves en mémoire de travail. Ils divisent la tâche en éléments plus petits. Ils guident les élèves pas à pas vers l’objectif ou l’état « expert ». Cela se fait à l’aide d’un transfert progressif de responsabilités, également connu sous le nom d’approche « je fais, nous faisons, tu fais » (Archer & Hughes 2010, Rosenshine 2012). C’est le principe d’un enseignement explicite.
Tout au long de ce processus, les enseignants vérifient la compréhension de leurs élèves et répondent de manière dynamique à leurs besoins. Ils traitent les idées fausses et en fournissant un retour d’information en cours de route qui leur permet de progresser. C’est le principe d’un enseignement adaptatif.
Ces démarches permettent aux élèves d’affiner constamment leurs schémas préexistants jusqu’à ce que leurs schémas se rapprochent de l’état objectif de l’expert.
Enseignement explicite ou approche par la découverte
Une controverse majeure en mathématiques porte sur la question de savoir entre les approches d’enseignement explicite-direct ou les approches d’investigation guidées de façon minimale, quelle devraient être la méthode de choix.
Les enseignants sont confrontés à un défi de taille en mathématiques, car ils ont pour mission d’amener les élèves à acquérir des connaissances biologiques secondaires. Les connaissances mathématiques appartiennent essentiellement à cette catégorie. Elles exigent des efforts et de la persévérance de la part de l’apprenant (Geary et coll., 2019).
Les enseignants font également souvent face à l’idée fausse répandue selon laquelle l’enseignement explicite est « centré sur l’enseignant » et donc « non motivant » pour les élèves (Archer & Hughes, 2010).
En réalité, l’approche adoptée doit dépendre avant tout du niveau d’expertise de l’apprenant. L’expertise de l’apprenant dans une compétence spécifique est liée au degré d’interactivité des éléments de la tâche par rapport aux connaissances de l’apprenant (Sweller et coll., 2019). Le degré d’interactivité des éléments en mathématiques est régulièrement élevé pour un novice.
Si l’interactivité des éléments est élevée pour un apprenant, les approches pédagogiques explicites et directes doivent l’emporter. Avec elles, les contenus en mathématiques qui sont entièrement expliqués et modélisés avant que les apprenants ne soient invités à appliquer les concepts ou les procédures sont préférables. En effet, la capacité de la mémoire de travail peut être dépassée si la tâche comporte trop d’éléments peu familiers en interaction (Sweller, 2021).
Inversement, lorsque l’apprenant a acquis un degré d’expertise plus élevé et que l’interactivité des éléments est moindre, il est préférable d’opter pour des approches minimalement guidées.
Pour utiliser une métaphore simple, nous n’apprendrions pas à un novice à faire du vélo en utilisant un vélo de course, et nous n’exigerions pas d’un cycliste d’élite qu’il utilise un vélo avec des roues d’entraînement.
L’utilisation d’approches « d’immersion » guidées de manière minimale pour les novices peut nuire à l’apprentissage. Il en va de même pour l’utilisation d’approches pédagogiques explicites et directes avec des étudiants qui ont acquis un certain niveau d’expertise.
C’est ce qu’ont démontré Sweller et ses collègues (2024) : « … De multiples expériences… indiquent de manière écrasante que si les informations à forte interactivité des éléments nécessitent un enseignement explicite avant la pratique de la résolution de problèmes. À mesure que l’interactivité des éléments diminue, l’avantage de l’enseignement explicite diminue et peut éventuellement s’inverser, ce qui entraîne l’effet d’inversion de l’expertise ».
Il s’ensuit également que les approches d’enseignement explicite seraient la méthode de choix la plupart du temps, car les éducateurs enseignent de nouvelles compétences et connaissances à des personnes qui sont novices, à savoir leurs élèves. Mais quelles sont les phases spécifiques par lesquelles les élèves doivent passer pour passer du statut de mathématiciens novices à celui d’experts en calcul, et comment les enseignants peuvent-ils soutenir cette transformation ?
Enseignement des concepts et des procédures
Dans divers systèmes éducatifs, le mouvement de balancier est parti d’une insistance presque totale sur les connaissances procédurales et l’apprentissage par cœur au détriment de la compréhension. Il a abouti à une compréhension conceptuelle et à l’enseignement des procédures sans développement de la fluidité. Cette évolution a eu des conséquences importantes et parfois néfastes sur les performances mathématiques des élèves.
La recherche en sciences cognitives a montré qu’il était nécessaire de disposer de deux, c’est-à-dire d’une maîtrise des procédures sous la forme de la mémorisation des faits mathématiques, ainsi que d’une compréhension conceptuelle des mathématiques.
La connaissance conceptuelle des mathématiques, ou la compréhension des relations entre les idées, parfois appelée « grandes idées des mathématiques » (Charles, 2005), est le « ciment » qui éclaire les relations et facilite la compréhension profonde.
La connaissance conceptuelle des mathématiques apporte une cohésion à ce qui pourrait autrement être enseigné comme un ensemble d’idées disparates et déconnectées à apprendre par cœur.
L’importance de la construction de la connaissance conceptuelle ne peut être sous-estimée, car elle est la clé pour que les apprenants soient capables d’aller au-delà des « procédures mathématiques » vers une véritable numératie (Miller & Hudson, 2007).
D’autre part, les connaissances procédurales impliquent la connaissance de formules et d’algorithmes standard, ou de la séquence à suivre lorsqu’un problème comporte plusieurs étapes, et la maîtrise des faits numériques (Miller & Hudson, 2007).
La fluidité et la précision des procédures favorisent une plus grande efficacité. Elles permettent de répartir plus uniformément la charge cognitive sur plusieurs étapes, ce qui entraîne une réduction de la charge à chaque étape, facilitant ainsi l’apprentissage et l’obtention de réponses plus précises dans l’ensemble.
La procédure et les fondements conceptuels des problèmes favorisent la compétence mathématique et la numératie, contrairement à une approche purement mathématique (procédurale).
La grande majorité des mathématiques à apprendre dans le cadre de l’enseignement formel sont des connaissances secondaires biologiques, qui nécessitent un effort d’apprentissage et sont soumises aux limites de la capacité de la mémoire de travail. En tant que telles, elles doivent être soigneusement séquencées et enseignées de manière explicite et ne peuvent être acquises naturellement par immersion.
Les connaissances conceptuelles et procédurales sont complémentaires. Elles peuvent et doivent être enseignées ensemble.
Pour illustrer cela, prenons l’exemple suivant de la soustraction à deux chiffres :
Le problème de soustraction verticale est illustré à gauche. Les blocs en base 10 à droite du diagramme représentent conceptuellement ce qui se passe en matière de quantités. Dans ce cas, les élèves pourraient apprendre la procédure sans les blocs de base 10 et, lorsqu’ils sont confrontés à la résolution de problèmes similaires, ils pourraient appliquer la procédure et obtenir une réponse correcte.
Cependant, examinons ce qui se passe lorsque le problème de soustraction devient plus complexe. C’est par exemple le cas lorsqu’un regroupement est nécessaire de sorte qu’un chiffre de l’extrémité (le nombre à soustraire) est plus petit que le chiffre correspondant de l’extrémité inférieure (le nombre à soustraire).
Dans ce cas, l’application de la formule originale ne fonctionnerait plus. Nous pourrions certes enseigner une nouvelle procédure. Toutefois, nous aurons plus de chances d’obtenir des résultats intéressants si nous reprenons cette information de manière conceptuelle.
Une fois la compréhension acquise, l’étayage consistant à utiliser la représentation des blocs en base 10 pourrait être supprimé. Les élèves seraient alors en mesure de s’appuyer sur le bon usage de la procédure.
Une hiérarchie de l’apprentissage pour les mathématiques
La hiérarchie de l’apprentissage de Haring & Eaton (1978) illustre la manière dont les enseignants peuvent aider les élèves à passer du stade de novice à celui d’expert en mathématiques.
L’objectif est notamment d’avancer aussi vite que possible, mais aussi lentement que nécessaire à travers les phases de l’enseignement. Nous commençons par des approches d’enseignement plus explicites et évoluons vers des approches peu guidées au fur et à mesure que les apprenants acquièrent une expertise. En tant que telles, les phases sont des moyens et non des buts en soi.
Les enseignants doivent planifier soigneusement chaque étape de l’enseignement, de manière à préparer les élèves à s’attaquer à des problèmes plus complexes lors de la phase d’adaptation. Il est également important de noter que les apprenants peuvent posséder les compétences prérequises, mais être incapables de reconnaître les contextes précis dans lesquels les appliquer. Il est donc souvent nécessaire d’enseigner explicitement quand appliquer certaines compétences et comment réunir des compétences isolées.
Hiérarchie pédagogique de Haring & Eaton :
- La phase d’acquisition :
- L’élève apprend l’objectif et l’utilité du concept, le langage mathématique pertinent, les concepts et les procédures et est capable d’appliquer la compétence, mais ne la maîtrise pas encore.
- La phase de fluidité :
- Grâce à la pratique et à la répétition, l’élève exécute la compétence avec aisance.
- La phase de généralisation :
- L’élève applique la compétence dans toutes les situations ou tous les contextes.
- La phase d’adaptation :
- L’élève est confronté à des tâches nouvelles qui l’obligent à adapter ses compétences actuelles pour répondre à de nouvelles exigences.
Le novice va tendre à ressentir une forte interactivité des éléments, tandis que l’expert n’en ressentira plus qu’une faible. Le novice profitera d’un enseignement explicite tandis que l’expert profitera d’une situation peu guidée.
La phase d’acquisition du modèle de la hiérarchie de l’apprentissage
Dans la phase d’acquisition, les enseignants sont susceptibles de soutenir l’apprentissage d’un plus grand nombre d’apprenants s’ils utilisent des approches d’enseignement explicite.
Les élèves ont beaucoup de nouvelles connaissances à apprendre et l’interactivité des éléments est élevée. Ainsi, pour tout type de tâche qui n’a jamais été rencontrée auparavant, un enseignement explicite sera nécessaire, que le problème soit de nature fondamentale ou qu’il s’agisse d’un problème contextualisé et complexe.
La première étape cruciale lors de l’introduction d’un nouveau concept est d’énoncer l’objectif et l’utilité du concept. Cela permet aux élèves de relier les nouvelles informations à leurs connaissances antérieures et de s’engager dans l’apprentissage.
L’enseignement explicite du vocabulaire, des concepts et des procédures mathématiques pertinents devrait également être introduit au cours de cette phase. Ils seront ensuite revus tout au long des différentes phases du processus d’apprentissage (Miller & Hudson, 2007 ; Powell et coll., 2024 ; Turan & De Smedt, 2023).
Par exemple, nous pouvons enseigner les centimètres comme unité de longueur.
- Objectif et utilité du concept :
- L’utilité des unités de longueur telles que les centimètres peut être illustrée à l’aide d’objets pouvant être mesurés en centimètres, tels que la longueur d’un livre ou le côté d’un bureau.
- Langage et représentations :
- L’enseignement doit inclure des termes pertinents tels que « mesure », « longueur », « unités » et « centimètre ». En matière de représentations, les enseignants peuvent démontrer la longueur d’un centimètre à l’aide d’objets concrets tels qu’une agrafe, ou de représentations en 2D telles que la distance entre deux points sur une règle.
- Concepts et procédures :
- Les élèves doivent être familiarisés avec les règles et observer que les points sur la règle sont « équidistants ». Sur le plan conceptuel, ils doivent comprendre que ce sont les espaces entre les points sur la règle qui représentent les unités (quantités) de longueur, et non les points eux-mêmes. Ils doivent également apprendre explicitement à utiliser une règle en alignant le « 0 » (et non le « 1 ») à une extrémité de l’objet et à identifier le nombre sur la règle qui s’aligne sur l’autre extrémité de l’objet.
La phase de maîtrise du modèle de la hiérarchie de l’apprentissage
Il ne suffit pas d’acquérir une compétence pour passer ensuite à l’apprentissage de la compétence suivante.
Les élèves ont besoin d’un grand nombre de répétitions pour atteindre l’automaticité ou la fluidité dans n’importe quelle compétence mathématique, qu’il s’agisse de faits mathématiques ou de résolution de problèmes.
Une fois que l’élève est capable d’effectuer la tâche de manière cohérente et avec un haut niveau de précision, il est prêt à passer à la phase de généralisation.
Si l’on reprend l’exemple précédent de « l’enseignement des centimètres en tant qu’unité de longueur », la phase de fluidité comprendrait :
- La pratique de l’utilisation du langage mathématique correct.
- La capacité à identifier la longueur des objets en centimètres.
- La capacité à mesurer la longueur avec un haut degré de précision.
Si l’on reprend l’exemple de la soustraction à deux chiffres, la phase de fluidité comprendrait la pratique des mêmes types de problèmes avec différents chiffres jusqu’à ce que l’élève ait acquis une précision d’au moins 80 % (Rosenshine, 2012). Nous pourrions alors passer à des problèmes plus complexes tels que la soustraction à deux chiffres avec regroupement.
La phase de généralisation du modèle de la hiérarchie de l’apprentissage
Une fois que les élèves sont à l’aise et appliquent les connaissances de manière fluide, ils sont prêts à généraliser la compétence à des problèmes similaires ou à des concepts connexes.
C’est la troisième phase, celle de généralisation du modèle de la hiérarchie de l’apprentissage.
En gardant à l’esprit la nécessité de gérer la charge cognitive des apprenants, l’idéal serait de ne modifier qu’un seul élément à la fois et de développer la fluidité avant de passer à chaque niveau. Il peut s’agir de changer un élément du problème, de changer la fourchette de nombres ou leur complexité (grands nombres, fractions, décimaux, racines), de changer le cadre ou de changer la situation.
Par exemple, pour aider les élèves à généraliser leur compréhension des « centimètres » et des « unités », nous pourrions leur présenter la relation entre les centimètres et les mètres. En nous appuyant sur leurs connaissances antérieures des unités, nous pourrions souligner que les centimètres sont trop courts pour mesurer des objets plus grands tels que la hauteur d’une porte ou la distance entre deux classes. Cela leur explique pourquoi les « mètres » peuvent être utiles.
Par ailleurs, si nous reprenons l’exemple précédent de la soustraction à deux chiffres avec regroupement, nous pouvons modifier un élément du problème, par exemple en utilisant des nombres à trois chiffres, afin d’aider les élèves à généraliser.
Les enseignants doivent également se pencher sur les idées fausses résultant de « généralisations excessives ». Par exemple, en convertissant des centimètres en mètres, les élèves peuvent supposer à tort que la réponse sera plus élevée parce que les mètres sont plus longs que les centimètres. Ainsi, même si 200 centimètres = 2 mètres, les élèves peuvent faire l’erreur que 2 cm = 200 m. Il peut donc être nécessaire d’enseigner explicitement aux élèves que si l’unité est plus grande, il en faut moins pour obtenir une certaine longueur.
Une fois que les élèves ont démontré leur capacité à généraliser de manière cohérente et précise la compétence dans un certain nombre de contextes différents, ils sont prêts à passer à la phase d’adaptation.
La phase d’adaptation du modèle de la hiérarchie de l’apprentissage :
La phase d’adaptation est la phase finale au cours de laquelle les élèves ont atteint un niveau élevé de maîtrise des compétences visées. Ils sont maintenant en mesure d’adapter leur ensemble de compétences actuelles pour répondre à des demandes de tâches plus complexes.
Ces tâches plus complexes sont par exemple des problèmes nécessitant une combinaison de compétences isolées bien répétées, des problèmes contenant des informations non pertinentes ou des problèmes dans des conditions d’incertitude, qui reflètent davantage la vie de tous les jours.
À ce stade, contrairement aux stades précédents, les approches minimalement guidées sont préférables, car les élèves deviennent experts en calcul.
Prenons l’exemple de « l’enseignement du centimètre comme unité de longueur », qui a été généralisé à d’autres unités telles que le mètre, le millimètre et le kilomètre. Un niveau élevé de compétence impliquerait d’être capable de sélectionner l’unité de mesure appropriée. Cela se retrouverait également dans le fait de mesurer et d’effectuer des conversions entre les unités rapidement et avec précision pour la longueur ou la distance requise dans des contextes réels.
Bibliographie
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