(Photographie : ackersam)
Place des manipulations dans l’enseignement des mathématiques
Les stratégies d’enseignement fondées sur la manipulation sont souvent considérées comme des approches efficaces pour améliorer les résultats des élèves en mathématiques.
Ce sont des approches qui offrent aux élèves la possibilité d’interagir physiquement avec des objets pour apprendre des informations ciblées.
Carbonneau et ses collègues (2013) ont réalisé une méta-analyse de 55 études de l’efficacité de l’enseignement des mathématiques à l’aide de matériel de manipulation concret.
Ils ont comparé l’enseignement à l’aide de matériel de manipulation à une condition de contrôle dans laquelle l’enseignement des mathématiques était dispensé uniquement à l’aide de symboles mathématiques abstraits.
Des résultats statistiquement significatifs ont été identifiés avec des tailles d’effet faibles à modérées, telles que mesurées par le d de Cohen. Leurs conclusions penchent en faveur de l’utilisation de matériel de manipulation dans l’enseignement, par rapport à un enseignement qui n’utiliserait que des symboles mathématiques abstraits.
Les effets se sont révélés :
- Modérés à importants sur la mémorisation
- Faibles sur la résolution de problèmes, le transfert et la justification.
Toutefois, la relation entre l’enseignement des mathématiques à l’aide de matériel de manipulation concret et l’apprentissage des élèves n’est pas univoque. Elle est modérée par les caractéristiques pédagogiques mobilisées. L’examen des tailles d’effet en fonction des caractéristiques pédagogiques et des résultats d’apprentissage a révélé que l’efficacité du matériel de manipulation est complexe. Il nécessite la prise en compte des caractéristiques pédagogiques et des résultats d’apprentissage.
Les modérateurs pédagogiques potentiels de l’efficacité de l’enseignement à l’aide de matériel de manipulation peuvent être dérivés des théories contemporaines du développement humain et de la cognition. Selon ces explications théoriques, le matériel de manipulation concret faciliterait l’apprentissage en :
- Soutenant le développement du raisonnement abstrait par la manipulation
- Mobilisant les connaissances du monde réel des apprenants par la manipulation
- Donnant à l’apprenant l’occasion de mettre en œuvre le concept pour améliorer l’encodage
- Offrant l’occasion de découvrir des concepts mathématiques par le biais d’une exploration menée par l’apprenant.
Chacune de ces explications théoriques correspond à des caractéristiques pédagogiques susceptibles de réduire ou d’accroître l’efficacité du matériel de manipulation mathématique.
L’hypothèse d’un soutien au développement du raisonnement abstrait par la manipulation
Les jeunes enfants sont censés tirer des avantages cognitifs de l’exploration des concepts mathématiques à l’aide de matériel de manipulation.
Grâce à ces interactions physiques avec l’environnement, les jeunes enfants pourraient acquérir la maîtrise de représentations de niveau supérieur selon une séquence prévisible. Les représentations visuelles précèderaient les représentations symboliques.
Dans cette logique, on s’attend à ce que les élèves plus âgés qui ont développé la capacité de raisonner de manière abstraite puissent bénéficier d’un enseignement qui consiste exclusivement en des représentations symboliques.
Dès lors, les avantages cognitifs supposés de la manipulation d’objets concrets pour représenter les concepts mathématiques devraient être plus importants pour les enfants plus jeunes. Ceux-ci sont encore en train de développer leur compétence avec des représentations de niveau supérieur.
L’hypothèse de la mobilisation des connaissances du monde réel des apprenants par la manipulation
L’utilisation de matériel de manipulation permettrait aux élèves de faire appel à leurs connaissances pratiques, ce qui faciliterait l’accès à l’abstraction.
Selon ce point de vue, des objets concrets qui en rappellent d’autres, familiers pour les élèves, devraient les aider à établir des liens entre les concepts mathématiques abstraits et le monde réel.
Cet argument est étayé par des données probantes. Elles indiquent que lorsque la connaissance préalable d’un concept est partielle ou absente, le fait de fournir des objets concrets connus peut aider les apprenants à construire des schémas pertinents pour le contexte.
Toutefois, le type de matériel de manipulation parait avoir une importance sur l’impact obtenu pour l’apprentissage.
Essentiellement, deux types d’approches sur la nature du matériel sont utilisées :
- L’accent peut être mis sur la richesse perceptuelle des objets concrets de manipulation, leur réalisme ou leurs détails visuels.
- L’accent peut être mis sur la manière dont les détails d’un objet peuvent entraver ou favoriser l’apprentissage.
Des comparaisons peuvent être faites entre :
- Des objets de manipulation réalistes (par exemple, des objets de manipulation qui ressemblent à de la pizza ou à de l’argent) qui sont riches sur le plan perceptuel.
- Des objets de manipulation peu définis ou de nature neutre (par exemple, des objets de manipulation qui représentent des formes géométriques ou la valeur de position).
Le bilan de ces études suggère que le matériel de manipulation riche sur le plan de la perception peut entraver l’apprentissage des concepts mathématiques ou la résolution de problèmes mathématiques.
Les explications des raisons pour lesquelles l’apprentissage est inhibé par un matériel de manipulation riche sur le plan perceptuel ont exploré des pistes telles que :
- La généralisation de l’apprentissage à d’autres contextes.
- La non-pertinence de l’information de surface pour le concept cible.
- L’incapacité à reconnaitre que les objets concrets peuvent être représentatifs d’une classe d’objets réels et de concepts mathématiques abstraits.
L’hypothèse de donner à l’apprenant l’occasion de mettre en œuvre le concept pour améliorer l’encodage
Certaines stratégies pédagogiques qui utilisent du matériel de manipulation peuvent être efficaces en raison de la mise en œuvre physique. L’encodage et la récupération ultérieure des informations cibles peuvent se faire par le biais d’un codage non verbal ou d’un canal moteur.
On parle de tâches autoréalisées. Il s’agit de tâches que les participants exécutent physiquement au cours d’une activité d’apprentissage.
La théorie du double codage permet d’en expliquer les effets bénéfiques sur la mémoire :
- Les représentations verbales et non verbales sont stockées dans des magasins distincts, mais connectés dans la mémoire à long terme.
- L’activation d’une forme de représentation entraîne l’activation de l’autre, ce qui améliore la récupération de l’information cible.
Un enfant qui développe ses connaissances en mathématiques en utilisant du matériel de manipulation pour représenter les quantités apprend le concept cible en présence des deux formes de représentation.
Plus tard, lorsqu’on lui demandera de se souvenir des informations cibles, l’enfant aura accès à un code verbal composé des connaissances mathématiques cibles et à un code non verbal composé des interactions avec le matériel de manipulation.
La récupération réussie d’une forme de représentation devrait activer l’autre, ce qui devrait se traduire par de meilleures performances en matière de résultats d’apprentissage.
Le processus de mise en œuvre s’est avéré être une stratégie d’apprentissage efficace dans le domaine de la compréhension de la lecture.
Toutefois, il existe un problème potentiel lié à la mise en œuvre physique. Le simple fait de déplacer le matériel de manipulation n’est probablement pas suffisant pour favoriser l’apprentissage. Sans instruction explicite, les enfants peuvent ne pas manipuler les objets d’une manière qui représente de manière appropriée le concept mathématique enseigné. En d’autres termes, le guidage pédagogique fourni devrait influencer l’efficacité du matériel de manipulation.
L’hypothèse d’offrir l’occasion de découvrir des concepts mathématiques par le biais d’une exploration menée par l’apprenant
L’idée est que donner aux apprenants la possibilité de découvrir des concepts mathématiques par le biais d’une exploration non structurée menée par l’apprenant aboutirait à des résultats d’apprentissage solides (Bruner, 1961 ; Piaget & Coltman, 1974). Ces théoriciens estiment que les apprenants sont mieux à même de construire des connaissances significatives lorsqu’ils ont la possibilité de découvrir des concepts.
La recherche empirique a fourni des preuves contredisant cette notion. Des résultats indiquent que le fait de fournir aux apprenants des conseils pédagogiques sur des sujets plutôt que de les laisser travailler dans un contexte purement non structuré se traduit par des niveaux de performance plus élevés (Mayer, 2004).
L’orientation pédagogique offerte aux apprenants peut être définie comme la quantité d’aide pédagogique fournie au cours du processus d’apprentissage. Elle se situe sur un continuum entre l’apprentissage contrôlé par l’étudiant et l’apprentissage contrôlé par l’enseignant (Kirschner, Sweller, & Clark, 2006 ; Mayer, 2004).
À une extrémité de ce continuum se trouvent les stratégies contrôlées par l’élève qui permettent aux apprenants d’utiliser le matériel de manipulation dans un environnement non structuré ou moins structuré. Cela correspond à un environnement d’apprentissage peu guidé ou de découverte. Dans les scénarios à faible encadrement, souvent identifiés comme des explorations mathématiques, les élèves reçoivent du matériel de manipulation. Ils n’ont que peu, ou pas d’instructions sur la manière de manipuler les objets pour représenter les concepts mathématiques à l’étude.
À l’autre extrémité du continuum, on trouve les stratégies contrôlées par l’enseignant, dans lesquelles les élèves interagissent avec le matériel de manipulation selon les instructions de l’enseignant (c’est-à-dire l’enseignement direct ou explicite).
Une synthèse de la littérature sur l’orientation pédagogique indique que la fourniture d’une orientation pédagogique permet d’obtenir de meilleurs résultats d’apprentissage que la simple découverte (Alfieri, Brooks, Aldrich, & Tenenbaum, 2011).
L’approche concrète picturale abstraite
L’approche concrète picturale abstraite (CPA) est une stratégie d’apprentissage qui permet de développer la compréhension des mathématiques de manière progressive et intuitive. Elle s’appuie sur trois étapes clés :
- Concrète (manipulation d’objets)
- Les élèves utilisent des objets physiques pour manipuler et explorer les concepts mathématiques.
- Par exemple, ils peuvent utiliser des blocs de construction, des jetons ou des billes pour apprendre les additions et les soustractions.
- Cette étape permet de rendre les mathématiques plus tangibles et de développer une compréhension pratique des concepts.
- Exemple : Pour additionner 5 + 2, l’enfant peut prendre 5 jetons, en ajoute 2, et ensuite compter le total des jetons.
- Représentation picturale (image) :
- L’élève mobilise des dessins, des images ou des schémas pour représenter des concepts mathématiques.
- Cette étape permet de visualiser les opérations et de les rendre plus concrètes.
- Exemple : Pour additionner 5 +2, l’enfant peut dessiner 5 pommes puis 2 pommes, et ensuite les compter toutes ensemble. Alternativement, il peut mettre en évidence 5 doigts sur une main et 2 sur l’autre et les compter ensemble.
- Abstraite (symboles mathématiques) :
- Les élèves utilisent des symboles mathématiques (+, -, ×, ÷ ou =) pour représenter les opérations.
- Cette étape permet de passer d’une compréhension concrète à une compréhension plus abstraite et symbolique des mathématiques.
- Exemple : L’enfant écrit l’opération 5 + 2 = 7.
- Les élèves sont initiés à un nouveau concept mathématique en utilisant des ressources concrètes.
- Lorsqu’ils sont à l’aise pour résoudre des tâches avec des supports physiques, on leur donne des problèmes avec des images – généralement des représentations picturales des objets concrets qu’ils utilisaient.
- Ensuite, on leur demande de résoudre des problèmes où ils n’ont que l’abstrait, c’est-à-dire des nombres ou d’autres symboles.
L’approche CPA est basée sur l’idée que les élèves apprennent mieux les mathématiques lorsqu’ils peuvent les voir, les toucher et les manipuler. Elle aide les élèves à développer une compréhension profonde des concepts mathématiques et à les appliquer à des situations du monde réel.
Une perspective cognitive et pédagogique sur l’approche concrète, picturale et abstraite
Lorsqu’elle intègre la manipulation, la pratique pédagogique doit au minimum tenir compte de deux éléments :
- La charge cognitive liée aux nouvelles connaissances
- La récupération des connaissances préalables en lien
La récupération est le processus par lequel les connaissances antérieures de la mémoire à long terme sont « reliées » aux informations entrantes de la mémoire de travail.
Si la mémoire à long terme ne contient qu’un nombre limité de connaissances antérieures, par exemple lorsque les informations reçues sont trop peu familières, l’apprenant risque d’être débordé. La capacité de sa mémoire de travail sera dépassée et l’apprentissage sera compromis.
Les avantages de l’approche :
- Aller du simple vers le complexe par étapes, en commençant par le concret et en allant vers l’abstrait.
- La manipulation d’objets et la représentation imagée permettent de mieux comprendre les concepts mathématiques.
- L’approche concrète et ludique rend les mathématiques plus intéressantes et motivantes.
- Cette approche peut être adaptée à tous les niveaux scolaires, de la maternelle à l’université.
L’approche concrète, picturale et abstraite est un moyen validé par la recherche d’étayer l’apprentissage, ou le développement de schémas (Agrawal & Morin, 2016 ; Carbonneau et coll., 2013).
Les problèmes de connaissances préalables limitées sont surmontés en utilisant des représentations plus familières et en passant progressivement à des représentations moins familières.
Selon Krasa et coll. (2022), les parties du corps telles que les doigts sont les représentations les plus familières pour les jeunes enfants. Elles constituent un point de départ polyvalent pour aider les enfants à compter en utilisant la correspondance de un à un, à calculer et à comprendre le système de base 10.
Les objets concrets sont également utilisés aux premiers stades de l’acquisition des schémas, avant de passer à des représentations bidimensionnelles et à des concepts abstraits tels que les nombres et les symboles.
Idéalement, les différentes représentations peuvent être présentées dans l’espace de manière contiguë, deux par deux, mais il est important d’utiliser l’ordre correct et de ne pas sauter d’étapes.
Par exemple, il est souvent utile de présenter des représentations concrètes à côté de représentations picturales. Nous passons ensuite à des représentations picturales à côté de représentations abstraites, et enfin à des représentations purement abstraites au fur et à mesure que les élèves acquièrent de l’expertise.
De plus, les enseignants doivent aider les enfants à passer d’une phase à l’autre aussi rapidement que possible, mais aussi lentement que nécessaire, en fonction des besoins de l’élève. De plus, l’apprentissage de l’élève peut être entravé si l’on insiste pour qu’il persévère dans la phase concrète, alors que des représentations bidimensionnelles ou l’utilisation de symboles abstraits tels que les nombres suffiraient.
L’utilisation de matériel de manipulation concret ou virtuel est souvent reléguée aux jeunes enfants ou aux apprenants en difficulté. Les mathématiques sont intrinsèquement visuospatiales, et pas seulement une extension de la littératie. L’utilisation d’objets concrets ou virtuels et de représentations visuospatiales est justifiée à tous les niveaux lorsque les élèves de tous âges acquièrent de nouvelles compétences (Carbonneau et coll., 2013 ; Turner, 2023).
Affiner les schémas par la rétroaction en mathématiques
La rétroaction sur l’apprentissage que les élèves reçoivent dans un cadre d’évaluation formative doit être opportune, spécifique, compréhensible et exploitable. Les élèves doivent pouvoir affiner leurs schémas préexistants et maîtriser le contenu (Fisher & Frey, 2021). Elle peut représenter un facteur d’accélération de l’apprentissage.
Les connaissances des enfants deviennent de plus en plus nuancées à mesure qu’ils apprennent à catégoriser les informations et à affiner leurs schémas préexistants. L’utilisation d’exemples et de contre-exemples peut également être utile.
Par exemple dans le développement du schéma des quadrilatères, au départ, les enfants apprennent la propriété fondamentale des quadrilatères ayant quatre côtés. Ils comparent des « exemples » de formes régulières telles que les carrés et les rectangles avec des « non-exemples », tels que les triangles et les cercles.
Le schéma se concrétise davantage lorsque les élèves apprennent le concept de « parallélisme » des deux paires de côtés opposés : les parallélogrammes, les rectangles, les losanges et les carrés entrent dans cette catégorie, mais pas les trapèzes.
Au fil du temps, les élèves apprennent la propriété des angles droits. Ainsi, bien que les parallélogrammes, les losanges, les rectangles et les carrés aient des côtés parallèles, les parallélogrammes et les losanges n’ont pas nécessairement d’angles droits.
L’utilisation de schémas, le retour d’information tout au long du processus et la correction des idées fausses en cours de route facilitent l’élaboration efficace et précise des schémas et favorisent l’apprentissage.
Les enseignants de mathématiques doivent également faire la distinction entre les « erreurs » et les « fautes » ou conceptions erronées lorsqu’ils fournissent un retour d’information (Archer & Hughes 2010).
Prenons l’exemple suivant :
Qu’est-ce que 101 plus 9 ?
- Élève A : 111 : Erreur
- Élève B : 1001 : Erreur qui démontre une conception erronée
- Élève C : 110 Correct
Ici, l’élève A a fait une erreur en additionnant les nombres, mais il est clair qu’il a compris la valeur de position étant donné qu’il a fourni une réponse à trois chiffres.
Dans ce cas, une simple correction serait appropriée. En revanche, la réponse de l’élève B illustre une incompréhension à un niveau plus profond. Dans de tels cas, les enseignants doivent identifier la source de l’incompréhension et réapprendre le concept mathématique.
La réponse de l’élève B montre qu’il a des difficultés avec la valeur de position. À ce titre, un enseignement explicite avec une approche concrète, picturale et abstraite utilisant des blocs en base 10 serait susceptible de donner les meilleurs résultats.
Mis à jour le 27/03/2025
Bibliographie
Siobhan Merlo, The Science of Maths and How to Apply It, 2024, Analysis Paper 71, The Centre for Independent Studies
Carbonneau, K. J., Marley, S. C., & Selig, J. P. (2013). A meta-analysis of the efficacy of teaching mathematics with concrete manipulatives. Journal of educational psychology, 105(2), 380.
Bruner, J. S. (1961). The act of discovery. Harvard Educational Review, 31, 21–32.
Piaget, J., & Coltman, D. (1974). Science of education and the psychology of the child. New York, NY : Grossman.
Mayer, R. E. (2004). Should there be a three-strikes rule against pure discovery learning? American Psychologist, 59(1), 14–19. doi:10.1037/0003-066X.59.1.14
Kirschner, P. A., Sweller, J., & Clark, R. E. (2006). Why minimal guidance during instruction does not work: An analysis of the failure of constructivist, discovery, problem-based, experiential, and inquiry-based teaching. Educational Psychologist, 41(2), 75– 86. doi:10.1207/s15326985ep4102_1
Alfieri, L., Brooks, P. J., Aldrich, N. J., & Tenenbaum, H. R. (2011). Does discovery-based instruction enhance learning? Journal of Educational Psychology, 103(1), 1–18. doi:10.1037/a0021017
Agrawal, J., & Morin, L. L. (2016). Evidence–based practices: Applications of concrete repres entational abstract framework across math concepts for students with mathematics disabilities. Learning Disabilities Research & Practice, 31(1), 34-44.
Krasa, N., Tzanetopoulos, K., & Maas, C. (2022). How Children Learn Math: The Science of Math Learning in Research and Practice. Routledge.
Turner, E. (2023). Initium: Cognitive science and research-informed primary practice
Fisher, D., & Frey, N. (2021). Better learning through structured teaching: A framework for the gradual release of responsibility. ASCD.
Archer, A. L., & Hughes, C. A. (2010). Explicit instruction : Effective and efficient teaching. Guilford Publications
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