samedi 24 juillet 2021

Évaluation formative en mathématiques : stratégies de questionnement en classe

Le dialogue en classe est un principe clé essentiel de l’évaluation formative en mathématique.

(Photographie : dolphinrocket)



Nous devons engager nos élèves dans un processus génératif d’apprentissage en favorisant la récupération et l’élaboration. Nous visons à aider nos élèves à développer une compréhension profonde des contenus enseignés. Les questions posées en classe doivent soutenir et permettre ce dialogue.




Assumer le défi de la réflexion


La mesure dans laquelle une activité fonctionne en classe du point de l’évaluation formative va dépendre :

  • De la mesure dans laquelle l’enseignant réussit à engager ses élèves dans un traitement cognitif pertinent lié à une réflexion mathématique
  • De la qualité des échanges qui amènent les élèves à exercer et approfondir leur réflexion mathématique.

La qualité du dialogue entre l’enseignant et ses élèves est fonction :

  • De la qualité des réponses fournies par les élèves
  • De la stimulation et du renforcement fournis par l’enseignant à l’engagement des élèves.

L’enjeu pour l’enseignant est de maintenir ses élèves dans des activité de réflexion centrées sur l’établissement de leur compréhension et la construction de leurs apprentissages.




Vers une culture du dialogue en classe


Dans le cadre d’un cours de mathématiques, une dérive potentielle est que les enseignants semblent travailler, réfléchir et s’investir bien plus intensément que leurs élèves.

À l’opposé, les élèves souvent ne travaillent pas assez en classe. Régulièrement, ceux qui parmi les élèves gagneraient à travailler le plus en classe sont ceux qui en réalité le font le moins. 

Lorsque les élèves participent activement à la réflexion et à l’engagement cognitif en classe, non seulement ils apprennent davantage, mais leurs connaissances générales en mathématiques augmentent parallèlement.

Toutefois, ce processus n’est possible que si les interactions en classe évoluent au-delà d’une série de questions fermées à réponse rapide, qui ne concernent souvent que quelques élèves et laissent peu de temps pour la réflexion.

Nous devons évoluer vers une atmosphère de classe où les activités sont structurées d’une telle manière qu’elles offrent de réelles possibilités de réflexion. 

Si les interventions des enseignants sont cruciales pour promouvoir l’évaluation formative, elles gagnent à être moins fréquentes, plus réfléchies et plus stimulantes. Le charge mentale de la réflexion mathématique doit être portée par les élèves.

La culture de classe qui en découle présente un certain nombre d’avantages : 

  • En écoutant davantage leurs élèves, les enseignants en apprennent davantage sur ce qu’ils apprennent et sur la façon dont ils raisonnent mathématiquement. 
  • Plus d’élèves ont la possibilité d’exprimer leurs idées par des contributions plus longues. Ils obtiennent plus d’occasions d’apprendre et de s’exercer à un raisonnement mathématique avec leurs condisciples. 
  • En étant écoutés par l’enseignant et les autres élèves, les élèves se rendent compte que l’enseignant s’intéresse réellement à la qualité de leur réflexion et de leur langage. Leurs contributions et leurs efforts de compréhension et de participation ont de la valeur et sont dignes d’intérêt. Par-là, ils sont donc encouragés à s’engager et à s’exprimer plus. 
  • En parlant moins, l’enseignant a plus de temps pour réfléchir aux interventions qu’il fait et à leur qualité. 




La dimension diagnostique d’une tâche


Deux caractéristiques sont particulièrement importantes dans la conception et la sélection d’activités en classe en lien avec l’évaluation formative et le questionnement : 

  • Les défis proposés aux élèves doivent répondre à un large éventail de niveaux d’aptitude et de réussite. La participation ne doit pas être réservée aux élèves les plus talentueux en mathématiques. Tous doivent pouvoir s’y investir à des degrés divers ou à des rythmes différents. De plus, l’engagement dans les défis doit permettre aux élèves d’apprendre les uns des autres avec le développement d’une dimension coopérative. 
  • Nous ne visons pas nécessairement à obtenir un taux très élevé de réponses correcte dans le cadre de tâches formatives. Il ne s’agit pas de faire disparaître les erreurs. Les réponses correctes offrent généralement moins de possibilités d’évaluer dans quelle mesure les élèves saisissent un concept mathématique. Les réponses incorrectes offrent des pistes pour une rétroaction qui permet des pistes d’amélioration concrètes.




Éviter l’association systématique entre réponse et question


Lorsqu’à chaque question que nous posons à nos élèves peut correspondre une réponse singulière et succincte, les élèves finissent par être obnubilés par son obtention. Il risque de négliger la rigueur de la démarche mathématique qui y mène et se permettre des raccourcis qui enfreignent le formalisme mathématique. 

Ils finissent par s’attendre à ce que des problèmes mathématiques aient une seule et unique réponse correcte. La démarche de résolution risque alors de passer sur le côté. Elle peut se résumer à la quête d’une réponse à peine documentée plus qu’au développement de leurs connaissances.

Pour désamorcer cette tendance, nous pouvons leur donner régulièrement des problèmes avec plus d’une réponse correcte ou des problèmes qui ne vont en présenter aucune. 

Les réponses peuvent comporter :

  • Différents critères, en lien les uns avec les autres
  • Un ou plusieurs paramètres avec une forme d’indétermination
  • Le constat d’une impossibilité ou d’une impasse
  • Une modélisation
  • Une interprétation avec justification

En brisant le lien trop prévisible entre une question et une réponse chiffrée unique claire et nette, nous remettons en question les attentes et conceptions des élèves en lien avec les mathématiques.

De tels problèmes peuvent devenir alors source de réflexion, d’échanges et de difficultés temporaires à surmonter par un raisonnement qu’ils apprennent à mieux mobiliser et adopter.

Ces problèmes plus réflexifs trouvent particulièrement leur place lors de la pratique autonome après un modelage et une pratique guidée. Ils peuvent venir stimuler sa dimension collaborative ou coopérative en offrant des occasions supplémentaires de provoquer des discussions sur les mathématiques entre élèves. 

Lorsque les problèmes présentent un caractère ouvert ou lorsqu’ils n’ont pas de buts spécifiés, ils facilitent l’exploration et le développement de la compréhension des élèves. Ces derniers ne sont plus obnubilés par la recherche de la réponse et son obtention coûte que coûte. 




Explorer les modes de résolution en mathématiques


Lorsque cela s’y prête, nous gagnons à favoriser des tâches qui permettent d’explorer et de comparer l’intérêt de modes de résolution différents. Nous demandons à nos élèves de s’y investir et de les comparer.

Par exemple, le système de deux équations à deux inconnues suivantes n’aboutit à aucune réponse : 


Deux modes de résolution sont possibles, algébrique ou graphique.

Les élèves vont assez naturellement opter pour la résolution algébrique du système en utilisant une approche de substitution ou de combinaison des équations.

Ce sont des méthodes essentielles à maîtriser. Dans le cas présent, ces deux méthodes aboutissent à une égalité incorrecte, probablement 5 = 4. Il n’y a pas de solution.

Malheureusement, pour la plupart des élèves, la signification graphique de ce résultat n’est pas forcément évidente. En leur faisant réaliser une résolution graphique, ils vont pouvoir réaliser que les équations représentent des droites parallèles distinctes d’où l’absence d’intersection.

En combinant des modes de résolution différents, les élèves peuvent mieux comprendre les liens entre les deux formes de représentation dans la résolution de systèmes de deux équations à deux inconnues. Sans cela, l’obtention d’une égalité incorrecte pourrait leur faire penser qu’ils ont une erreur de calcul et qu’un système a forcément une solution chiffrée.

En leur faisant comparer et comprendre les liens entre différentes approches, les élèves peuvent mieux saisir toute la complexité mathématique 

En engageant les élèves dans ce type de démarches pour la résolution d’un problème, à la fois l’enseignant et les élèves eux-mêmes peuvent évaluer ce qu’ils savent. 

  • Dans quelle mesure possèdent-ils les connaissances procédurales ?
  • Dans quelle mesure possèdent-ils les connaissances conceptuelles ?
  • Comprennent-ils ce qui se cache derrière chaque approche et son interprétation ? 
  • Saisissent-ils les liens complémentaires entre les différentes approches de résolution possibles (par exemple graphique ou algébrique) ? 

Si l’enseignant offre ce type d’exercices, il établit de même un outil diagnostique qui lui permet de donner un retour d’information ciblé aux élèves sur ce qu’ils peuvent faire pour améliorer leur apprentissage. 




Présenter et générer des solutions différentes 


Souvent, les élèves conçoivent les enjeux des mathématiques à l’école comme le simple fait de trouver des réponses à des problèmes ou à des exercices pour récolter suffisamment de points pour réussir. 

L’objectif de l’enseignant est plutôt de leur permettre d’apprendre les mathématiques. 

Demander aux élèves de générer différentes façons de résoudre un problème est une façon de focaliser leur attention sur le processus même des mathématiques. 

En examinant et en comparant différentes techniques, les élèves peuvent évaluer leurs propres forces en mathématiques. 

La connaissance d’une solution peut aider les élèves à en générer et à en comprendre une autre, ce qui peut leur permettre de comprendre les liens entre différents domaines mathématiques. 

Le retour d’information peut prendre la forme d’une réflexion sur l’activité : 

  • Quels sont les avantages et les inconvénients des méthodes ? 
  • Qu’est-ce qui est similaire et qu’est-ce qui est différent dans les façons de résoudre le problème ? 
  • As-tu trouvé une méthode plus facile qu’une autre ? 




Activer la vigilance des élèves dès le modelage et la pratique guidée


Dès le modelage et la pratique guidée, les questions posées par l’enseignant ne doivent pas rester exclusivement centrées sur les bonnes opérations à effectuer. Elles ne cherchent pas uniquement à confirmer et à répéter ce qui vient d’être dit. Elles invitent également les élèves à s’engager dans une démarche plus réflexive. L’enjeu est également de développer les capacités d’autorégulation des élèves face aux mathématiques. 

Nous devons également poser des questions telles que : 

  • Qu’est-ce qui est déroutant dans ce problème ou dans cette hypothèse ?
  • Quelles analogies et quelles différences peux-tu faire avec d’autres exercices ou d’autres situations rencontrées précédemment ?
  • Quel est le piège à éviter dans cet exercice ? Est-ce que tu identifies un oubli ou une faille potentielle dans cette hypothèse ?

L’attention des élèves doit être alertée pertinemment. Les élèves doivent rester attentifs. Ils sont placés sur le qui-vive et vont exercer un contrôle plus poussé sur le traitement mathématique. L’idée est de moins laisser libre cours à leurs automatismes qui restent pourtant nécessaires. Nous voulons leur faire éviter de commettre l’erreur et de ne pas le remarquer. Ils peuvent en apprendre plus et devenir plus précis. 

De cette manière, les élèves sont invités à se concentrer régulièrement sur ce qu’ils doivent faire pour améliorer leur compréhension, petit pas par petit pas. 

Durant le processus, l’enseignant doit s’assurer de ne jamais indiquer de manière trop évidente la voie toute tracée vers la réponse. Nous devons faire réfléchir nos élèves, plutôt que de les en dispenser. Une manière est de poser des hypothèses erronées et en amenant les élèves à les corriger, proposer des alternatives qui mènent à la réflexion.

Donner aux élèves la possibilité de débusquer l’erreur dans des hypothèses potentiellement fausses proposées par l’enseignant peut être un moyen efficace de promouvoir leur apprentissage autonome. L’enseignant peut également demander à un élève de justifier ou d’expliciter sa pensée.

En procédant de la sorte, l’enseignant peut récolter un retour d’information de ses élèves et fournir une rétroaction adaptée en direct. Elle lui permettra d’améliorer la compréhension conceptuelle ou procédurale des élèves au moment clé où elles font défaut. L’apprentissage et la compréhension des élèves peuvent alors mieux avancer, en phase avec le cours.




Apprendre aux élèves à traiter et repérer leurs erreurs durant la pratique autonome


Les activités qui se concentrent sur l’identification et la correction des erreurs courantes peuvent être utiles à la fois dans les phases d’évaluation et de retour d’information de l’évaluation formative. 

Inévitablement, des erreurs de mathématiques et des fautes de calcul se produisent naturellement dans l’apprentissage et durant les évaluations.

Présenter un ensemble de résolutions auprès d’élèves peut être intéressant. Certaines solutions sont identifiées comme correctes et d’autres sont erronées. Les élèves sont invités à identifier la nature des erreurs et à les corriger.

Demander aux élèves de retrouver la nature de l’erreur et y remédier peut rendre les élèves plus attentifs à des erreurs qu’ils pourraient eux-mêmes commettre.

Nous demandons aux élèves de s’engager dans ce travail et de repérer les erreurs de calcul, de stratégie ou de procédure. Par ce biais, nous leur apprenons des stratégies d’autorégulation dont l’acquisition leur permettra de les utiliser pour leurs propres productions quand ils se relisent ou qu’ils recherchent leurs propres erreurs.  

Lorsque ces élèves possèdent des stratégies, ils peuvent mieux s’autoévaluer et repèrent où centrer leurs efforts, car ils peuvent déterminer ce qu’ils savent bien et ce qu’ils savent moins bien. 

De même, les élèves deviennent plus aptes à utiliser une rétroaction donnée par l’enseignant ou d’autres élèves portant sur les manières de faire et les sources d’erreurs.

Faire de la détection d’erreurs un type d’activité normal en classe contribue à dédramatiser l’erreur et à valoriser sa détection et sa correction.  




Bibliographie


Hodgen, J. & Wiliam, D. (2006), ’Mathematics inside the black box: assessment for learning in the mathematics classroom ’

Stigler, James & Hiebert, James. (1999). The teaching gap: Best ideas from the world’s teachers for improving education in the classroom. New York, NY: The Free Press. http://lst-iiep.iiep-unesco.org/cgi-bin/wwwi32.exe/[in=epidoc1.in]/?t2000=011347/(100).

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