samedi 27 février 2021

Évaluation formative en mathématiques : conception et sélection des tâches en classe

Nous devons éviter que nos élèves ne développent qu’une mémorisation mécanique des contenus, en connaissant des formules, des définitions et des règles par cœur et en résolvant automatiquement et sans réfléchir des exercices. 

(Photographie : Olli Wiegner)


Plutôt que simplement réciter et appliquer machinalement des procédures, les élèves doivent être mis au défi par des activités qui les encouragent à réfléchir et à exprimer leur pensée.

Un principe clé essentiel de l’évaluation formative en mathématique est le dialogue en classe. Les activités et les tâches effectuées en classe doivent le soutenir. 



Concevoir les tâches comme mobilisant les connaissances


Les tâches que nous proposons à nos élèves ne doivent pas toujours aller dans le sens de la bonne réponse ni paver le chemin à suivre en le garantissant par une distribution d’indices. Les élèves doivent être engagés dans un processus pertinent qui stimule leur réflexion mathématique.

Le choix et la conception des tâches scolaires jouent un rôle important dans cette dimension. Ce qui vient de l’enseignant ou qui se retrouve dans les énoncés ne doit pas être accepté systématiquement et benoitement par les élèves. Cela ne doit pas constituer automatiquement la bonne parole mathématique à accepter telle quelle, sans quoi la pratique en classe peut devenir anesthésiante et ne plus représenter que des challenges convenus et peu ambitieux.

Il ne s’agit pas toutefois de laisser les élèves découvrir les contenus par eux-mêmes et se dépêtrer face à une surcharge cognitive. L’intention est de mobiliser leurs connaissances conceptuelles et procédurales dans un traitement cognitif génératif qui correspond à des challenges accessibles, ni trop simples et ni trop complexes. 

Le fait de poser un problème et d’écouter les idées des élèves peut démontrer que ces derniers n’ont aucune difficulté dans ce domaine, auquel cas l’enseignant passera à autre chose. D’autre part, cela peut également indiquer des difficultés profondes qui font qu’un sujet doit être enseigné à nouveau, peut-être d’une manière différente, plus intensive. 

La mesure dans laquelle les élèves peuvent relever l’un ou l’autre défi relié à une tâche va toujours dépendre beaucoup de leurs connaissances existantes. L’enseignant doit donc découvrir préalablement ce que les élèves savent déjà pour les mettre ensuite au défi d’étendre leurs connaissances.



Concevoir des tâches utiles


Les activités adéquates sont toujours fortement tributaires des connaissances initiales des élèves et de celles que nous souhaitons leur transmettre.

Il n’existe pas d’activité universellement stimulante. Une activité qui fonctionne bien avec un groupe d’élèves un jour, peut ne pas fonctionner du tout avec un autre groupe le lendemain. 

Un concept plus porteur que celui de tâche stimulante est celui de tâche utile. Une tâche est utile lorsqu’elle incite à des réflexion mathématiques pertinentes et est révélatrice de la pensée de l’élève.

La tâche de générer des activités appropriées et utiles ne peut être accomplie que par les enseignants eux-mêmes. Mais il ne s’agit presque jamais de devoir réinventer la roue. Le développement de nouvelles activités utiles implique généralement l’emprunt et l’adaptation d’anciennes tâches. 

Les questions suivantes peuvent être utiles dans le cadre de la conception et de l’adaptation de nouvelles activités. 

  • De quelle manière cette activité favorise-t-elle l’apprentissage des mathématiques et les échanges sur le contenu qui se dérouleront durant le cours ? 
  • Quelles sont les possibilités pour l’enseignant et les élèves de se faire une idée claire de l’apprentissage en jeu lors de l’activité ?
  • Comment cette activité permet-elle à l’enseignant et aux élèves de comprendre ce que ces derniers doivent faire si des difficultés sont rencontrées ? 
  • Qu’est-ce qui est formateur dans la pratique de cette activité ? 

Il devient beaucoup plus facile de répondre à ces questions lorsque l’enseignant a déjà utilisé une activité à plusieurs reprises et qu’elle a fait ses preuves. À ce moment-là, il peut anticiper certaines des réactions des élèves. 

Des recherches comparatives menées auprès d’enseignants japonais suggèrent qu’une stratégie très efficace consiste pour les enseignants à travailler en collaboration pour affiner et perfectionner un petit nombre d’activités (Stigler et Hiebert, 1999). En partageant leurs idées et expériences avec d’autres, les enseignants augmentent leur répertoire d’activités. De cette manière, ils améliorent leur compréhension du programme scolaire dans son ensemble. 



Concevoir les tâches comme stimulant la réflexion


Bien qu’il soit essentiel de développer des automatismes procéduraux et d’apprendre des concepts, l’enseignement de mathématiques ne peut se limiter à cette dimension.

Pour devenir autonomes, nos élèves doivent développer une compréhension profonde en construisant des modèles mentaux adéquats qui leur permettent de s’orienter dans un domaine spécifique des mathématiques. Ces modèles mentaux seront le support réel de leurs capacités de discrimination et d’esprit critique.

Le risque est qu’une majeure partie du temps soit passé en classe se retrouve réservé à la réalisation d’exercices dont les réponses sont soit bonnes, soit mauvaises. Cette dichotomie ne favorise pas réellement un apprentissage en profondeur.

Il est plus intéressant que les élèves s’interrogent sur les raisons pour lesquelles certaines réponses sont fausses, incomplètes ou mauvaises. Pour cela, nous devons présenter aux élèves des contenus variés qui les stimulent en incluant une part d’inattendu.

Une manière de procéder consiste à présenter aux élèves une hypothèse de réponse inadéquate, incomplète ou erronée et qui semble faussement évidente à première vue. Nous pouvons alors leur demander leur avis. Les élèves sont alors stimulés à s’engager dans la réflexion.

Le fait de poser des problèmes dont la réponse la plus évidente est soit fausse soit partiellement correcte encourage les élèves à s’engager dans une réflexion mathématique. Dans celle-ci, ils sont amenés à argumenter sur le point de vue qu’ils vont adopter.

Dans de telles démarches, il y a un potentiel de formation qui permet aux élèves d’affiner leur propre compréhension. Nous donnons aux élèves la possibilité de construire et d’élaborer autour de connaissances et des capacités de raisonnement en mathématiques préalablement enseignées. Lorsqu’ils sont confrontés régulièrement à des éléments non tout à fait exacts et qu’ils doivent participer à préciser, les élèves développent leur vigilance par rapport à leurs erreurs potentielles.  

Par ces démarches, nous installons des éléments de diagnostic qui permettent de révéler directement à eux-mêmes ou à nous-mêmes, enseignants, la façon dont ils comprennent les mathématiques en question.

Les échanges générés vont donner l’occasion aux élèves d’évaluer la justesse de leurs idées et de leur compréhension. Ils déterminent dans quelle mesure ils connaissent la matière, ce qui les amène peu à peu à prendre la responsabilité de leurs apprentissages. 

Exemple d’activité : 

Voici un problème à choix multiples est présenté aux élèves.

Laquelle de ces affirmations est vraie ? 

  • A : 0,33 est supérieur à 1/3
  • B : 0,33 est inférieur à 1/3
  • C : 0,33 est égal à 1/3
  • D : J’ai besoin d’informations supplémentaires pour en être certain 

Cette question permet d’explorer la conception des élèves liée au nombre arrondi :

  • Certains élèves peuvent penser que les nombres sont les mêmes. Ils vont opter pour C, en effet si nous arrondissons 1/3 à deux décimales nous obtenons 0,33. 
  • D’autres peuvent opter pour B puisque 0,33 est inférieur à 0,333…
  • D est une réponse plus générale pour un élève qui ressent de la confusion ou hésite sur la façon d’interpréter l’énoncer.
  • A pourrait être correct (le 0,33 arrondi à 2 décimales pourrait être aussi grand que 0,334 999 99). 


Chacune de ces réponses pourrait, selon la perspective de l’élève, être d’une certaine façon correcte ou justifiable. Les interprétations peuvent varier suivant que les élèves prennent en considération les nombres arrondis, illimités ou significatifs. 

Un tel problème nous permet de discuter avec nos élèves et de diagnostiquer chez eux différents niveaux de compréhension. Dans ce cas, il porte sur la grandeur d’un nombre et de l’équivalence des fractions décimales et des nombres décimaux.



Maintenir et poursuivre la réflexion mathématique


Les activités en mathématiques ne sont pas isolées, mais s’agrègent les unes aux autres de façon à stimuler la réflexion, l’élaboration de l’apprentissage des connaissances. Une activité vient s’intégrer dans une suite dont la complexité est progressive.

Si nous prenons l’activité précédente, nous pouvons enchainer en posant d’autres tâches aux élèves. Nous pouvons leur demander de réappliquer la cadre de la question dans une situation similaire (par exemple avec 2/3 et 0,67, -1/3 et -0,33 ou ¼ et 0,25). 

L’enseignant peut également demander aux élèves de réfléchir aux différences entre les formes d’expression des nombres sous forme décimale ou sous forme de fraction d’entiers.

Nous devons permettre aux élèves d’étendre un raisonnement spécifique à un exercice jusqu’à une réflexion étendue à une famille de situations en étudiant les différents cas de figure. Ils doivent pouvoir déterminer les éléments invariants et les similitudes.



Prendre le temps et distribuer la réflexion mathématique


Le programme de mathématiques est chargé en contenus. Il y a beaucoup à apprendre et le temps d’enseignement est limité. Beaucoup de contenus sont à enseigner à un rythme rapide. Il en ressort que certains apprentissages peuvent se révéler partiels ou superficiels chez les élèves. 

La conséquence est que des élèves qui réussissent peuvent rencontrer des difficultés avec des idées relativement simples lorsqu’elles sont replacées plus tard dans des contextes nouveaux ou inhabituels. Nous devons pour y remédier nous donner des occasions d’y revenir distribuées dans le temps.

Imaginons un élève en fin de secondaire croiser dans le cadre d’une résolution quelconque l’expression √ 0,4 qu’il doit simplifier mentalement ou par écrit. 

Il est hautement susceptible que nombre d’élèves, même parmi ceux qui réussissent généralement bien, peuvent donner une réponse incorrecte. C’est-à-dire 0,2. 

Le contexte de vigilance basse peut inciter l’élève à générer une réponse incorrecte par analogie des caractéristiques de surface. 

Le chiffre 4 est instantanément reconnu comme étant le carré de 2. Le 0 semble neutre, car le carré de 0 reste 0.

Les élèves plus avancés en matière d’autorégulation peuvent vérifier la réponse. En calculant 0,2 au carré, ils vont remarquer leur erreur. Ils vont alors s’employer à rectifier leur réponse originale.

Face à ce dilemme existent deux positions. Nous pouvons compartimenter les apprentissages et éviter de confronter les élèves à ce type de situation, mais ce serait la politique de l’autruche et défavorable aux apprentissages. 

Au contraire, il vaut mieux confronter régulièrement les élèves à ce type de situations en leur apprenant à être vigilants et à exercer régulièrement leurs capacités de raisonnement mathématique. Cela demande de revenir de temps à autre sur ce type de points essentiels qui sans cela risque de devenir des facteurs d’erreur récurrents qui peuvent handicaper la progression à long terme des élèves. 




Du bon usage des manuels scolaires 


Les manuels scolaires en mathématiques sont de qualité variable et ne respectent pas toujours les principes d’un enseignement efficace ni ceux de la science de l’apprentissage.

Toutefois, ils restent des ressources qui peuvent être utilisées comme points d’un départ pour un enseignement efficace. Ce dernier met en œuvre en mathématiques les principes clés de l’évaluation formative comme ceux de l’enseignement explicite ou de la science de l’apprentissage.

De même, il existe des alternatives à par exemple résoudre une série d’une vingtaine d’exercices similaires. 

Considérons un ensemble d’exercices semblables, mais de degrés de difficulté différents. Plutôt que de demander aux élèves de les résoudre d’affilée, de manière autonome ou collective, une autre piste est possible. 

Par exemple, dans une liste délimitée d’exercices, nous pourrions demander aux élèves d’en identifier quatre ou six qui sont représentatifs de l’ensemble. Deux ou trois doivent être considérés comme faciles par les élèves selon leur point de vue et deux ou trois doivent être considérés comme difficiles.

À partir des énoncés, nous pouvons leur demander de construire des modèles de réponses détaillés en explicitant chaque étape. Ils pourraient travailler seuls sur les questions faciles et puis avec un, deux ou trois partenaires sur les questions difficiles.  

Suivant le degré de difficulté des exercices, ils peuvent disposer de supports de résolution succincts. Les élèves travaillent en petits groupes et si nous repérons des dissemblances entre les résolutions plutôt qu’intervenir nous-mêmes nous pouvons suggérer des interactions entre deux groupes pour les remettre sur la voie.

Un temps de retour en groupe collectif peut alors être réalisé. Les élèves pourraient ensuite être interrogés : 

  • Quels sont les éléments en commun et les éléments qui diffèrent entre les questions faciles et les questions difficiles ? 
  • À quoi faut-il être attentif à la lecture d’un énoncé dans ce genre d’exercices ?
  • Est-ce que les questions faciles se sont révélées réellement faciles ? 
  • Avez-vous changé d’avis sur les questions faciles et les questions difficiles ? 
  • Comment pourrions-nous rendre cette question plus facile/plus difficile ? 
  • Quels conseils donneriez-vous sur la manière de résoudre un problème difficile ?

À la fin d’une séquence de cours, les élèves pourraient être invités à produire une alternative aux questions du manuel, par exemple concevoir l’une ou l’autre question plus difficile avec sa résolution. 



Utiliser des tests sommatifs de manière formelle 


Il existe généralement des exemples d’évaluation sommative ou certificative des années antérieures. Les questions qu’ils contiennent peuvent servir d’outils à utiliser de manière formative en classe. 

Dans cette logique, les systèmes de notation ne sont plus utilisés lors de la correction. L’attention est plutôt centrée sur l’analyse des productions des élèves, afin de voir quelles questions spécifiques leur posent le plus de problèmes. 

Après cette analyse, du temps était consacré en classe pour retravailler les idées derrière les questions difficiles et pour en donner d’autres exemples que les élèves pourraient essayer de résoudre. 

Pour d’autres questions du test, seuls quelques élèves peuvent avoir répondu de manière incorrecte. Ces élèves sont invités à trouver quelqu’un dans la classe qui a répondu correctement et à lui demander d’expliquer comment il était arrivé à leur réponse.

De cette manière, l’enseignant s’occupe des lacunes importantes en matière de compréhension, mais les lacunes moins importantes pouvaient être comblées grâce à l’activité des pairs. 

Il existe d’autres façons d’utiliser les tests sommatifs : 

  • Donner aux élèves la grille de notation du test et leur demander de construire des modèles de réponses « complètes ». 
  • Demander aux élèves d’identifier les questions faciles et les questions difficiles. Les élèves peuvent ensuite tester leur intuition :
    • Ils expliquent les questions « faciles » aux autres élèves 
    • Ils demandent à d’autres élèves d’expliquer les questions plus difficiles.
  • Demander aux élèves de répondre individuellement à un test puis :
    • Reprendre la copie.
    • Proposer aux élèves de travailler avec un partenaire sur les questions qu’ils ont trouvées difficiles
    • Essayer d’améliorer individuellement leurs réponses originales en récupérant leur copie. 
  • Demander aux élèves de répondre individuellement à un test 
    • Invités à travailler en groupe pour produire les meilleures réponses composites possibles. 
    • Une mise en commun est organisée par l’enseignant qui peut demander à chaque groupe de donner sa meilleure réponse à chaque question. 
  • Utilisez un test à mi-parcours d’une séquence de matière pour identifier les domaines que les élèves ne comprennent pas entièrement. 
  • Donnez un test aux élèves et demandez-leur, par deux, de produire un test plus difficile. Les élèves devront trouver des solutions aux questions et justifier en quoi leur test est plus difficile. 

Le point commun à toutes ces activités est que les tests sommatifs sont utilisés pour permettre aux élèves de sonder leur propre compréhension. Ils obtiennent non plus des points mais un retour d’information pour eux-mêmes, pour les autres élèves et pour l’enseignant sur les moyens de s’améliorer. 



Bibliographie


Hodgen, J. & Wiliam, D. (2006), ’Mathematics inside the black box: assessment for learning in the mathematics classroom ’

Stigler, James & Hiebert, James. (1999). The teaching gap: Best ideas from the world’s teachers for improving education in the classroom. New York, NY: The Free Press. http://lst-iiep.iiep-unesco.org/cgi-bin/wwwi32.exe/[in=epidoc1.in]/?t2000=011347/ (100).

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